Grenzwert der Summe?
Wie erhält man den Grenzwert dieser Summe?
Ich habe den Ausdruck (2/3)^2n auseinander gezogen in (2/3)^n*(2/3)^n. Dann habe ich ein Produkt aus drei geometrischen Reihen berechnet und komme auf 4/3*3*3=12. Ist der Ansatz für die geometrische Reihe falsch? Die Voraussetzungen sind meines Erachtens dafür erfüllt.
4 Antworten
Mit dem Potenzgesetz:
erhält man:
Damit
Also ist eine Multiplikation mehrerer geometrischer Reihen nicht zulässig?
Doch - man kann natürlich mehrere geometrische Reihen miteinander multiplizieren. Allerdings steht hier nur eine einzige geometrische Reihe.
Das war mein Denkfehler. Ich hatte die Produkte als Konstanten angesehen und dachte ich könnte die Summe aufspalten in drei Summen die jeweils eine geometrische Reihe bilden und diese dann miteinander multiplizieren.
man kann ja leicht berechnen
(1/4)^n × (2/3)^n × (2/3)^n = [(1×2×2)÷(4×3×3)]^n = (1/9)^n
d.h. 1+1/9+1/18+1/27+1/36
mit der Formel der Geometrischen reihen bekommen wir dann 9/8
Die korrekte Berechnung hast du ja geliefert bekommen.
Also ist eine Multiplikation mehrerer geometrischer Reihen nicht zulässig? Kann mir meinen Fehler sonst nicht erklären.
Was du gemacht hast, war ziemlicher Humbug, versuch das mal anhand einer Summe zu verstehen, die nur von n=0 bis 2 geht.
Hallo,
(2/3)^(2n) kann man auch als ((2/3)^2)^n gleich (4/9)^n darstellen.
(1/4)^n*(4/9)^n=((1/4)*(4/9))^n=(1/9)^n.
Die Summe (1/9)^n von n=0 bis unendlich stellt eine geometrische Reihe dar mit q=(1/9).
Die Summenformel lautet daher [1-(1/9)^(n+1)]/(1-1/9).
Nenner ist 8/9, Zähler geht gegen 1, da (1/9)^(n+1) gegen 0 geht.
1/(8/9)=9/8.
Herzliche Grüße,
Willy
Super Ansatz, vielen Dank. Also ist eine Multiplikation mehrerer geometrischer Reihen nicht zulässig? Kann mir meinen Fehler sonst nicht erklären.
Bei Reihen funktioniert das nicht, wenn Du einfach die Grenzwerte der einzelnen Faktoren multiplizierst.
Du brauchst das ja nur für die beiden ersten Summenglieder auszuprobieren:
1+1/9=10/9.
Aber (1+1/4)*(1+4/9)=(5/4)*(13/9)=65/36. Da läuft es schon auseinander.
Super Ansatz, vielen Dank. Also ist eine Multiplikation mehrerer geometrischer Reihen nicht zulässig? Kann mir meinen Fehler sonst nicht erklären.