Wie kann ich die Nullstellen von x⁴-x³=0 ausrechnen?

Es gibt - neben den hier vorgestellten - Lösungsansätzen, noch eine, nämlich die Fallunterscheidung:

Wir nehmen an, x sei 0 und prüfen:

 richtig, also ist 0 eine der möglichen Lösungen.

Als zweiten Fall nehmen wir an, x sei ungleich 0. Dann dürfen wir aber durch x teilen! Hier sogar durch x³ und erhalten

x - 1 = 0, also x = 1

Aber ist das nicht merkwürdig? Wir haben x hoch 4 und nur zwei statt vier Nullstellen? Lösung: x = 0 ist eine dreifache Nullstelle, schließlich haben wir die gesamte Gleichung dreimal durch x geteilt.

Man sieht es aber deutlicher so:



Wenn man die 0 oder die 1 einsetzt, wird das Produkt 0.

Die Lösungsmenge hat dennoch nur die Kardinalität von 2: L = {0, 1}

Zunächst einmal kannst du schauen, ob du etwas ausklammern kannst (also eine möglichst große Potenz von x ausklammern, wenn möglich).

Im konkreten Fall kann man x³ ausklammern.





Ein Produkt reeller (oder komplexer) Zahlen ist genau dann gleich 0, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist. [Das ist dir vielleicht als „Satz vom Nullprodukt“ bekannt.] Im konkreten Fall muss also x³ = 0 oder x - 1 = 0 sein.



x³ = 0 ist äquivalent zu x = 0. Und x - 1 = 0 ist äquivalent zu x = 1.



Ergebnis: Die gesuchten Nullstellen sind 0 und 1.

Ausklammern und Satz vom Nullprodukt.



ausklammern, dann Satz vom Nullprodukt

x³(x-1)=0

x=0 oder x=1