Nullstellen berechnen ohne taschen rechner?
Guten Morgen, kann mir jemand sagen wie man händisch die nullstellen berechnet, den weg weiß ich nur das Problem ist das ich nicht weiß wie ich mit dem Ausdruck auf die nullstellen komme. Ohne eine Polynom Division zu machen
4 Antworten
Ich würde das zunächst einmal ausmultiplizieren...
Nun kann man zunächst einmal schauen, ob es ganzzahlige Nullstellen gibt, die man „erraten“ kann. Die ganzzahligen Nullstellen müssen Teiler des Absolutglieds „+6“ sein. Daher kommen nur {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6} als ganzzahlige Nullstellen in Frage.
Die negativen Zahlen kann man im konkreten Fall schnell ausschließen, da dann die einzelnen Summanden -x³ und 6x² und -11x und 6 alle positiv sind, und daher auch der Funktionswert positiv (und damit insbesondere nicht 0) ist. Also kommen nur {1, 2, 3, 6} als ganzzahlige Nullstellen in Frage.
Demnach sind 1, 2, 3 Nullstellen der Funktion f. Da man bereits 3 Nullstellen bei einer Funktion 3-ten Grades gefunden hat, braucht man nicht mehr weitersuchen, da eine Funktion 3-ten Grades höchstens 3 Nullstellen haben kann.
Ergebnis: Die gesuchten Nullstellen sind 1, 2, 3.
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Bemerkung: Evtl. hat man nicht immer solches Glück, dass alle Nullstellen ganzzahlig sind. Wenn man eine ganzzahlige oder rationale Nullstelle findet, kann man mit Polynomdivision weitermachen. (Auch wenn du keine Polynomdivision durchführen möchtest... Warum?) Ansonsten könnte man mit den Cardano-Formeln arbeiten. (Aber ich glaube nicht, dass du mit den Cardano-Formeln lieber arbeiten möchtest, als mit Polynomdivision, wenn Polynomdivision möglich ist.)
Naja, manchmal kann man gleich Linearfaktoren ausklammern, wenn man sie erkennt. Im konkreten Beispiel kann man diese jedoch nicht so einfach erkennen.
Finde es wichtig, dass du sagst, dass es nur ganzzahlige Nullstellen sein können, wenn sie auch das Absolutglied teilen, nennt man Satz über rationale Nullstellen. Der wird leider aber nicht in der Schule gelehrt, daher wichtige Information.
Wenn man Nullstellen herausfinden möchte oder das Polynom um ein Grad verringern möchte, kann man auch das Horner-Schema anwenden, ist oftmals einfacher :)
Aber super Beitrag!
Zunächst werde ich die ganze Gleichung berechnen, bevor ich mir überlege, den Faktorsatz zu nutzen, bzw. die Nullstellen zu finden.
Jetzt solltest Du eine Zahl ( x ) in die Funktion f(x) einsetzen, deren Summe 0 ist. Wir werden mal anprobieren, das mit f(1) anzuprobieren.
-1 + 6 - 11 + 6 = 5 - 11 + 6 = 0.
Nach diesem Schritt wird man f(x) durch x - 1 teilen, dessen Ergebnis wir als ( x - 1 )(g (x) ) bezeichnen. Man bekommt dann :
Nun faktorisierst Du g(x), wobei das faktorisierte Ergebnis ( x - 2)( x - 3 ) und Nullstellen x = 1, x = 2, x = 3 sind.
f(x) = -x³+6x²-11x+6
Wenn es ganzzahlige Nullstellen gibt, sind das Teiler von 6.
1 ist eine Nullstelle. Weiter mit Polynomdivision bzw Hornerschema oder weiter raten.
Was hast du gegen Polynomdivision?
Die anderen beiden NS sind ebenfalls ganzzahlig und positiv.
Erstmal ausmultiplizieren:
f(x) = -x^3 + 6x^2 - 11x + 6
Nun wird geraten und als erstes guckt man, ob 0 eine Nullstelle ist...ist es aber nicht.
Dann fällt auf, dass die Faktoren ergeben: -12 + 12. Immer dann ist die 1 ein Kandidat, wenn die Faktoren zusammen 0 ergeben. .
Probe:
-1^3 + 6*1^2 - 11* 1 + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0
Nun die Polynomdivision:
Weitere Nullstellen gibts für
x^2 - 5x + 6 = 0
pq-Formel:
Ergebnis:
𝕃 = {1; 2; 3}
Überprüfung mit Funktionsgenerator:
...stimmt also.
Habe Garnichts gegen eine Polynom Division, nur manchmal sehe ich das Leute die nullstellen in klammern ausdrücken und wollte wissen wie sowas geht deswegen hatte ich es auch nicht aus multipliziert, aber nochmals danke