Stellen stärkster Zunahme/Abnahme?Lokal oder absolut?
Wenn Gf‘ einen lokalen Hochpunkt besitzt, hat dann Gf keine Stelle stärkster Zunahme?
bzw.
Wenn Gf‘ einen lokalen Tiefpunkt besitzt, hat dann Gf keine Stelle stärkster Abnahme?
DANKE!
1 Antwort
Um Deine Frage(n) wörtlich zu nehmen, kann ein Graph f' mit lokalem (absolutem) Hochpunkt auch gar keine Zunahme haben, bzw. mit lokalem (absolutem) Tiefpunkt gar keine Abnahme (daher stehen in den Aussagen Deines eingefügten Bildes auch die Ergänzungen in Klammern). Denn liegt z. B. der (absolute) Hochpunkt von f' unter der x-Achse bedeutet das, dass f vor und hinter diesem Punkt trotzdem fällt, nur halt an diesem Punkt am schwächsten - daher im Bild der Zusatz "schwächste Abnahme".
Generell bedeutet "lokaler" Hoch-/Tiefpunkt, dass in "direkter Umgebung" kein höherer/niedriger Punkt liegt. Evtl. gibt es andere lokale Extremstellen die höher/niedriger liegen, oder auch die Ränder der Funktion können drüber/drunter liegen.
Nein. Schau Dir z. B. den Graphen zu f(x)=-x³-x mit f'(x)=-3x²-1.
Hier liegt f' komplett unter der x-Achse, hat einen Hochpunkt (lokal und absolut) bei (0|-1), der Graph f fällt aber durchweg, d. h. es gibt gar keine Zunahme, nur an dieser Stelle eine schwächste Abnahme.
Konforme Beispiele gibt es bzgl. der Aussage mit dem Tiefpunkt.
Also heißt das:
Wenn Gf‘ einen absoluten (oder lokalen) Hochpunkt besitzt, dann hat Gf absolute (oder lokale) Stelle stärkster Zunahme?
Wenn Gf‘ einen absoluten (oder lokalen) Tiefpunkt besitzt, dann hat Gf eine absolute (oder lokale) Stelle stärkster Abnahme?
Stimmt das so?