Beides korrekt: Funktion A(x) stimmt, die Stelle deren Hochpunkt ebenfalls. Jetzt nur noch die Rechteckfläche angeben...

Vervielfacht man die eine Größe und vervielfacht sich die andere dabei um denselben Faktor, dann liegt eine proportionale Zuordnung vor.

Wird die eine Größe mit einem Faktor vervielfacht und die andere muss dabei durch diesen Faktor geteilt werden, damit die Zuordnung stimmt, dann liegt eine antiproportionale Zuordnung vor.

5.1 eine gewisses Gewicht Tomaten entspricht einem bestimmten Betrag. Verdoppelt/verdreifacht/... man das Gewicht der Tomaten, dann werden sich auch die entsprechenden Kosten verdoppelt/verdreifachen/..., d. h. hier liegt eine proportionale Zuordnung vor

5.2 Erhöht sich die Laufstrecke wird sich auch die Laufzeit erhöhen, allerdings nicht um denselben Faktor: ein 10.000 m-Läufer wird nicht nur 100mal länger brauchen als ein 100 m-Läufer, sondern noch etwas mehr Zeit, daher handelt es sich hier weder um eine proportionale noch um eine antiproportionale Zuordnung.

5.4 hast Du nur ein Glas, kommt da der komplette Liter rein (muss wohl ein großes Glas sein...). Bei 2 Gläsern (also *2), halbiert sich die Menge pro Glas (jeweils 0,5 l, also durch 2); somit liegt hier eine antiproportionale Zuordnung vor

Die anderen solltest Du nun auch selbst lösen können.

Hier hast Du es mit einer Normalverteilung zu tun, d. h. hier gibt es keine ganzzahligen n und k und auch kein p, wie Du es aus der Binomialverteilung kennst.

Gegeben ist der Erwartungswert μ=7 und die Standardabweichung σ=0,5.

Gesucht ist bei a) nach P(X<6,8). Um daran zu kommen musst Du aus der Standardnormalverteilung Φ(Z) berechnen/ablesen, mit Z=(X-μ)/σ=(6,8-7)/0,5=-2/5=-0,4, d. h. gesucht ist Φ(-0,4)=1-Φ(0,4)=1-0,6554=0,3446. Φ(0,4) habe ich aus einer Tabelle für Standardnormalverteilung abgelesen.

Du musst die angegebenen Zahlen so umwandeln, dass Du sie als Potenzen mit Basis 2 und 3 schreiben kannst, denn für die 3 ist der log2 vorgegeben und log2 einer Potenz mit Basis 2 ist deren Exponent (log2(2^x)=x)

a) 9=3², d. h. log2(9)=log2(3²)=2*log(3)=2*1,6=3,2

Du musst natürlich die Logarithmus regeln kennen:

log(a^b)=b*log(a)

log(a*b)=log(a)+log(b)

log(a/b)=log(a)-log(b)

noch ein Beispiel:

d) 12=3*4=3*2² => log2(12)=log2(3*2²)=log2(3)+log2(2²)=1,6+2=3,6

Etwas unsauber gezeichnet, aber passt: rechne 2 Werte aus, trage sie ein und verbinde sie. Hier ist der Schnittpunkt mit der y-Achse (0|3) nicht getroffen!?! Punkt (1|-2) passt hingegen...

Und wo ist hier die Skalierung anders? 1 Einheit=1 cm (=2 Kästchen); unüblich ist hier nur, dass die Einheiten in 0,5er Schritten notiert wurden.

Je nach Funktion macht es Sinn/ist es nötig, die Skalierung anzupassen, um die Funktion überhaupt zeichnen zu können: nimm z. B. mal die Funktion f(x)=-5x+50. Bei dieser Skalierung wäre dann kein einziger Punkt im Bild, d. h. das Koordinatenkreuz bliebe leer. Wäre zwar richtig, dass man dann keinen Graphen sieht, aber sicher nicht das, was der Lehrer sehen will! :)

Dann müsstest Du z. B. die y-Achse anpassen, indem Du z. B. 1 Kästchen=5 Einheiten ansetzt, d. h. der Punkt (0|50) wäre dann auf der y-Achse beim 10. Kästchen über der x-Achse.

Mache aus den Angaben ein Baumdiagramm. Die beiden ersten Äste (Ereignis A) sind "Produkt in Handel" (=80 %) und "Produkt nicht in Handel/'Schrott'" (=20 %).

Beim ersten Ast geht es dann weiter mit (Ereignis B) "I. Wahl" (=65 %) und "II. Wahl" (=35 %).

Der "nicht-A"-Ast ist nach dem ersten Schritt beendet (Ware wird z. B. wieder zerkleinert und wieder der Produktion zugeführt).

Bei der Frage "mit welcher Wahrscheinlichkeit wird hergestellte Ware als I. Wahl angeboten" ist nach P(B) gefragt, d. h. nach allen Pfaden bei denen B vorkommt. Das ist in diesem Fall nur der Pfad "A->B"; in der Regel gibt es noch den Pfad "nicht-A->B", der dazu gehören würde, bei dieser Aufgabenstellung ausnahmsweise mal nicht...

D. h. hier gilt P(B)=P(A und B)=P(A)*P_A(B)=0,8*0,65.

Welche bedingte Wahrscheinlichkeit hast Du denn berechnet, denn "hergestellte Ware" ist ja keine Bedingung, denn es geht ja generell um hergestellte Ware, d. h. quasi P(hergestellte Ware)=100 %.

Das Problem bei "solchen" Aufgaben ist oft das richtige Verstehen der Aufgabenbeschreibung. Da werden immer wieder mal bestimmte Wortwahlen falsch verstanden/interpretiert und schon ist man auf der falschen Fährte...

Es wird einen erstmaligen Europameister geben: Belgien, Österreich oder Schweiz!

Du sollst ein Schrägbild von dem Bauwerk machen, nicht den abgebildeten Grundriss nachzeichnen!

Am Grundriss kannst Du ablesen, dass die Tiefe des Grande Arche 112 m ist, d. h. im Maßstab 1:1000 wären es in der Zeichnung auf der x-Achse (=Tiefe) 112 m:1000 = 0,112 m = 11,2 cm, d. h. bei einer Längeneinheit von 0,5 cm auf der x-Achse, werden die Tiefenlinien in diesem Schrägbild bzgl. der Außenkante 11,2 cm * 0,5 = 5,6 cm lang.

Bild 1:

Bei c) berechnest Du die Wahrscheinlichkeiten für MAI und WER wie in der Aufgabe davor für OOO, d. h. die Wahrscheinlichkeiten für das Erscheinen auf den entsprechenden Scheiben werden multipliziert! Für das Wort MAI scheinst Du richtig angefangen zu haben (wenn das Mal-Zeichen zwischen den Brüchen sein sollen), aber warum hinten 3/5 (!?), richtig wäre 1/5. Es gibt nur 1 I auf Scheibe 3, oder 3/5, weil M, A und I auf der letzten Scheibe vorkommen? Relevant ist nur das I, um das Wort MAI zu erhalten. Das Ergebnis würde man natürlich soweit wie möglich kürzen. Richtigerweise p(MAI)=1/3*2/4*1/5=1/30.

Für das Wort WER addierst (??) Du die Wahrscheinlichkeiten, und das anscheinend, indem Du einfach Zähler und Nenner jeweils addierst, was natürlich absolut falsch ist!!!!

Richtig: p(WER)=1/3*1/4*1/5=1/60, und das ist die Hälfte von 1/30 (=2/60). Man hätte die Wahrscheinlichkeiten aber nicht einmal ausrechnen müssen: Nur bei Scheibe 2 sind die Wahrscheinlichkeiten beider Wörter verschieden, wobei dort doppelt soviele A's (2) wie E's (1) vorkommen...

d) "genau einmal A" bedeutet, entweder nur vorne, nur in der Mitte oder nur hinten steht ein A. D. h. Du berechnest die Wahrscheinlichkeiten für Axx, xAx und xxA und addierst diese, also:

p=1/3*2/4*4/5+2/3*2/4*4/5+2/3*2/4*1/5=...

e) p(MAMI)=2,5 % bedeutet, dass p(MAM) * p(I) diese 2,5 % ergeben muss, d. h. umgestellt p(I)=0,025/p(MAM).

Machst Du es richtig, sollte p(I)=0,75 rauskommen, d. h. bei Scheibe 4 muss die Wahrscheinlichkeit für das Erscheinen des Buchstabens I 0,75=3/4 betragen, d. h. Scheibe 4 muss z. B. aus 4 Feldern bestehen, von denen 3 den Buchstaben I haben.

Bild 2 kann jemand anderes übernehmen - ist "etwas" spät...

Du berechnest das Integral der Differenzfunktion g(x)-f(x) in den Grenzen 0 bis 2. (g-f, weil g über f liegt; andersherum würde ein negativer Wert rauskommen; wäre aber auch nicht dramatisch: da es um Flächen geht nimmst Du dann einfach nur den Betrag...)

Genauso gut, aber mit mehr Schreib-/Rechenarbeit könntest Du erst das Integral von g(x) ausrechnen (ist die "größere" Funktion in diesem Intervall) und davon das Integral von f(x) abziehen. So rechnest Du zuerst die (gesamte) Fläche unter dem Graph g aus und ziehst die Fläche unter f davon ab: übrig bleibt die schraffierte Fläche.

Wenn Du es "in einem Rutsch" schreibst, musst Du auch dabei schreiben x->±∞, also

lim f(x)=±∞

x->±∞

D. h. bei der oberen Grenzbetrachtung (x->+∞) kommt das obere Vorzeichen raus (hier +∞); bei der Betrachtung x->-∞ entsprechend das untere Vorzeichen.

Würde es z. B. Im Funktionsterm x² statt x³ heißen, könntest Du verkürzt schreiben:

lim f(x)=∞

x->±∞

Hieße es -x³ statt x³ im Term, dann würde man hier kurz schreiben:

lim f(x)=-/+∞ (- oben ; + unten)

x->±∞

Unten links muss es in der dritten Zeile -30, nicht +30 heißen (-43-13*(-1)=-30)

Umgekehrt proportional, indirekt proportional und antiproportional bedeuten alle dasselbe. Es gilt: y=k/x bzw. y*x=k. D. h. wenn die zugeordneten Zahlenpaare (x;y) multipliziert immer denselben Wert ergeben, dann ist die Zuordnung umgekehrt/indirekt/anti-proportional.

Gilt y=k*x bzw. y/x=k, d. h. die Division von x und y ergibt immer denselben Wert, dann liegt eine proportionale Zuordnung vor.

y=-x bedeutet y=-1 * x, bzw. y/x=-1 und wäre somit eine proportionale Zuordnung.

a) um keine komplette Kurvendiskussion durchführen zu müssen (u. a. Ermittlung Extrem-/Wendestellen) wird wahrscheinlich eine Wertetabelle reichen (z. B. mit TR mit Abstand 0,5; also 30 Punkte im angegebeben Intervall [0;15].

Die flachere Seite des Graphen (also rechts) ist die wasserzugewandte Seite (so ist es links neben der Aufgabe auch dargestellt): warum genau - keine Ahnung (sollte man das Wissen müssen?), wohne im Binnenland und habe mich mit Deichbau nie beschäftigt, vielleicht klärt mich ja jemand auf...

b) Extrempunkt ermitteln

c) die maximale Steigung ist am Wendepunkt, und dieser soll (vertraglich) kleiner 45 %, also kleiner 0,45 sein. Das stimmt aber nicht: wenn ich mir die Ableitung anzeigen lasse, liegt das maximale Gefälle über 0,5; wahrscheinlich sollte es 45° (also 100 %, also Steigung/Gefälle ±1) heißen, denn m=-1 (also Gefälle 45°) wird nicht erreicht...

d) berechne, an welchen beiden Stellen f(x) den Wert 4,5 annimmt. Die Differenz dieser Stellen ist die Breite des Deichs auf dieser Höhe

e) berechne das Integral zwischen den beiden unter d) ermittelten Grenzen von f(x)-4,5 und multipliziere dieses Ergebnis (=Fläche des abzutragenden Deichquerschnitts) mit der Länge 1.000 m

Gesucht ist die Tangente t(x)=mx+b.

Du hast die Steigung gegeben [f'(x)] und kennst einen Punkt (musst nur dessen y-Wert noch ermitteln).

Das setzt Du einfach in t(x) ein und rechnest noch das b aus (wie Du es "damals" beim ermitteln von linearen Gleichungen machen müsstest...)

a) f(x)=x² => f(1)=1²=1, also P(1|1) und m=f'(1)=2

Werte in t einsetzen: 1=2*1+b <=> b=-1

also t(x)=2x-1.

Der abgebildete Graph f'' zeigt die Steigung von f' (f'' ist quasi die 1. Ableitung von f').

a) bei x<0 sind die Funktionswerte von f'' negativ, d. h. f' ist in diesem Bereich fallend

b) die Steigung einer Funktion sagt nichts über ihre Funktionswerte aus. D. h. Du kannst einen Graphen beliebig weit nach oben oder unten verschieben - die Steigung bleibt dieselbe, d. h. diese Aussage kann stimmen, muss aber nicht...

c) für x>0 gilt laut gezeigtem Graph: f''(x)>0. Und das bedeutet, dass f linksgekrümmt ist.

d) f' ist linksgekrümmt, wenn deren 2. Ableitung, also f''' größer 0 gilt. Der gezeigte Graph lautet f''(x)=x, also f'''(x)=1, d. h. f'''(x)>0 => f' ist linksgekrümmt.

a) Die Höhe des Streifens (messen!) entspricht 42 %. Du musst nun ausrechnen, wieviel cm 100 % entsprechen.

b) Berechne das Rechteck (Breite und Höhe messen und multiplizieren). Diese Fläche entspricht 72 %. Gefragt ist wieder nach 100 %.

f'(x)=0 ist die notwendige Bedingung dafür, dass eine Extremstelle vorliegt. Sicher geht man erst durch Prüfung dieser Stelle mit der zweiten Ableitung (hinreichende Bedingung): f''(x)>0 => Tiefpunkt an der Stelle x; f''(x)<0 => Hochpunkt.

also:

a) =T(5|-3)
b) =H(2|0)

A: f'(1)=0 bedeutet: an der Stelle x=1 ist die Steigung 0: stimmts?
B: f''(3)=0 bedeutet: an der Stelle x=3 ist eine Wendestelle oder eine mehrfache (min. 4fach) Nullstelle: stimmts?
C: f'(3)<0 bedeutet: an der Stelle x=3 ist die Steigung negativ, d. h. der Graph fällt dort: stimmts?
D: f'(-1)=0 - sh. Behauptung A
E: f''(-1)>0 bedeutet: der Graph ist an der Stelle x=-1 linksgekrümmt: stimmts?
F: f''(1)>0 - sh. Behauptung E

Den Flächeninhalt von Rechtecken berechnet man bekanntlich, indem man die beiden Seitenlängen miteinander multipliziert.

Hier hat die Seitenbreite jeweils die Länge t und die Seitenhöhe entspricht dem Funktionswert, also f(t). D. h. die "Flächenfunktion" lautet: A(t)=t * f(t).

Jetzt die entsprechenden Terme einsetzen, gegebenenfalls ausmultiplizieren und dann von A das Maximum bestimmen.

Die Vorgehensweise beim maximalen Umfang ist die gleiche, "Umfangfunktion" aufstellen und davon dann das Maximum bestimmen.