Zeigen Sie, dass die Graphen von r und s in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben, und geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an?

Berechne zunächst einmal die Koordinaten des gemeinsamen Punktes. Löse dazu die Gleichung r(x) = s(x) um die x-Koordinate dieses Punktes zu erhalten. Setze die x-Koordinate in r(x) oder in s(x) ein, um die y-Koordinate des Punktes zu erhalten.

Die Steigung der Tangente erhält man über die erste Ableitung der Funktion. Bilde also die Ableitungen r′(x) und s′(x). Setze dort die x-Koordinate des gemeinsamen Punktes ein, um die Tangentensteigung m an dieser Stelle zu erhalten.

Du solltest sowohl bei der Funktion r als auch bei der Funktion s die gleiche Steigung m an der entsprechenden Stelle erhalten haben. Da die Tangenten Geraden sind, die durch den gleichen Punkt (den berechneten gemeinsamen Punkt) verlaufen, und die gleiche Steigung m haben, stimmen die Tangenten miteinander überein. Die Funktionen haben also im gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente.

Und die Gleichung der Tangente kann man dann auch recht einfach mit



angeben. Dabei ist m die berechnete Tangentensteigung, und x₀, y₀ sind die berechneten Koordinaten des gemeinsamen Punktes.

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Hinweis zur Lösung der Gleichung r(x) = s(x): Durch geschicktes Raten/Hinsehen solltest du erkennen können, dass die Stelle x = 0 eine Lösung ist, und dies durch Einsetzen von x = 0 in die Gleichung r(x) = s(x) verifizieren können. [Man könnte dann noch begründen, dass es keine weitere Lösung gibt. Aber so wie sich die Aufgabenstellung liest, dürfte man wohl davon ausgehen, dass es nur einen gemeinsamen Punkt gibt.]

Wie mein Professor sagt: Durch richtiges Hinsehen findet man das, was man sucht.

Am einfachsten ist es, wenn du mal die Werte 0, 1, 2 einsetzt und schaust, was passiert, also x = 0, 1, 2 usw.

Dann findest du einen Punkt, an dem sie sich treffen.

Sowas kann man auch schnell im Kopf rechnen!

und wenn du diesen Punkt hast sollte die Tangente kein Problem sein darzustellen bzw zu konstruieren

gemeinsamer Punkt : der Schnittpunkt

-x² + x + 1 = e^x 

normal nicht lösbar 

Probieren mit den üblichen Verdächtigen ( Lehr-Beispiel eben ) +-1 und 0 führt zu x = 0 als Lösung

-0² + 0 + 1 = 1 

e^0 auch = 1

.

Der gemeinsame Punkt ist also (0/1)

.

Steigung mit

s'(x) = e^x ( ja bleibt so ) ist e^0 = 1 

Steigung mit 

r'(x) = -2x + 1 ist -2*0 + 1 = 1

.

Basteln der Gerade mit m = 1 und dem gemeinsamen Punkt (0/1)

1 = 1*0 + b 

1 = b

.

yTan = 1x + 1 >>>> x+1

Funktionen gleichsetzen und Schnittpunkt bestimmen.

Tipp: e^0 = 1

Jeweils erste Ableitung bilden und Steigung des Schnittpunktes ermitteln und vergleichen.

Tangentengleichung aufstellen.