Woher weiß ich welches Verfahren ich für die Nullstellenberechnung verwenden soll?

Ich nehme an, dass das komische Zeichen "x^4" bedeuten soll. Hier empfiehlt sich das Newtonverfahren nicht (Begründung s.u.).

Ausklammern geht nur, wenn das Absolutglied 0 ist. In der Beispielfunktion ist es 24 ≠ 0, fällt also flach.

Substitutionsverfahren geht vor allem dann, wenn nur zwei Exponenten vorhanden und der eine das Doppelte des andern ist, Schema:

f(x) = ax^(2n) + bx^n + c;

denn dann entsteht durch die Substitution x^n = u eine quadratische Gleichung. Es gibt auchdie komplizierten Substitutionen der Cardani-Formeln (mit der eine exakte Lösung der von dir vorgelegten Gleichung geschrieben werden könnte), aber die sind kaum praktisch gebräuchlich.

Geht bei der vorgelegten Funktion auch nicht.

Eine Polynomdivision setzt voraus, dass du schon eine Nullstelle x0 kennst, so dass du den Linearfaktor (x - x0) abdividieren kannst. Wenn du gar nichts weißt, geht es nicht.

Das (nicht erweiterte) Horner-Schema ist eine vereinfachte Form der Polynomdivision und kann dann angewendet werden, wenn diese angewendet werden kann.

. . .

Dann gibt es den wichtigen Satz, dass das Absolutglied Produkt aller Nullstellen und des Leitkoeffizienten ist. Der Leitkoeffizient ist der Koeffizient der höchsten Potenz, also hier "1" vor x^4. Wenn der Leitkoeffizient 1 ist, ist nach dem Satz jeder ganzzahlige Teiler ein ganzzahliger Teiler des Absolutglieds. Da jenes nur endliche viele Teiler hat, kannst du die mit Einsetzen in den Funktionsterm durchprobieren, also gezielt raten (in der Hoffnung, dass etwas Passendes, d.h. eine Nullstelle, dabei ist). Bei Schulaufgaben ist das auffallend häufig der Fall. Bei der vorgelegten Funktion sind die möglichen Teiler (von 24):

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24

Sobald du einen Teiler gefunden hast, kannst du Polynomdivision (oder einfacher Horner-Schema) anwenden.

Die vorgelegte Funktion hat mehrere ganzzahlige Nullstellen, die nach diesem Verfahren gefunden werden können

pq-Formel oder abc-Formel sind immer anwendbar, wenn die Funktion quadratisch ist, oder wenn nach Ausklammern oder Polynomdivision / Horner-Schema ein quadratisches Polynom entsteht .

Die pq-Formel ist bei der vorgelegten Funktion anwendbar, wenn zwei Nullstellen geraten sind und mit Polynomdivision / Horner-Schema ein quadratisches Polynom entsteht.

Newton-Verfahren ist als "letztes Mittel" anwendbar, wenn die Funktion keine anders zu ermittelnde Nullstelle besitzt. Es liefert grundsätzlich nur einen Näherungswert, häufig aber mit wenig Aufwand einen sehr genauen.

Das Newton-Verfahren ist bei der vorgelegten Funktion anwendbar, aber das ist nicht vorteilhaft (weil sich die exakten Nullstellen unaufwändiger ermitteln lassen, s.o.).

Das zu wählende Verfahren hängt immer vom Funktionsterm ab. Ich würde immer in genau der reihenfolge vorgehen/prüfen, die Du genannt hast.

Also kommt 1. nur dann in Frage, wenn Du eine Potenz von x ausklammern kannst und der Term in der Klammer nur noch quadratisch ist.

Die Substitution setzt voraus, dass die Exponenten der Variable ein bestimmtes Vielfaches von 2, 1, 0 sind. Bei x^4, x^2 und eine Konstanten kannst Du z = x² substituieren, bei x^6, x^3 und Konstante kannst Du z = x³ substituieren... Das führt jeweils auf eine quadratsiche Gleichung -> p1-Formel und rücksubstitueren.

Wenn die Verfahren nicht fruchten, dann (mehrfache) Polynomdivision. Hierfür brauchst Du aber eine ganzzahlige Lösung der Gleichung/Nullstelle der Funktion.

Erst wenn auch das nicht klappt (sprich: Du findet keine ganzzahlige Nullstelle, die im übrigen Teiler der Konstanten sein muss (wenn im Funktionsterm nur ganzzahlige Vorfaktoren vorkommen)), musst Du mit einem Näherungsverfahren (z.B. Newton) arbeiten.

Das Hornerschema ist übrigens im Grunde dasselbe wie die Polynomdivision; es ersetzt nur die Schreibweise "mit Rattenschwanz" durch ein anderes Schema. In jedem Fall wird das Restpolynom ermittelt.

In Deinem Fall:

· kein gemeinsamer Faktor x -> kein ausklammern

· keine quadr.Funktion -> keine pq-Formel

· wenn Du Dich vertippt hast und die Funktion heißt: f(x) = 2x³-13x²+14x+24, gibt es die ganzzahlige Nullstelle x = 4; also Polynomdivision mit anschließender pq-Formel

Also günstig ist hier das Newton-Verfahren !!