Warum weist ein Wendepunkt immer die größtmögliche Steigung auf?
Guten Abend,
ich schreibe nächste Woche eine Mathearbeit und bin gerade am üben. Nun stellt sich mir die Frage, warum ein Wendepunkt immer die größte Steigung hat. Kann ein Wendepunkt auch die kleinstmögliche Steigung aufweisen?
Hoffentlich kann mir jemand helfen!
Vielen Dank im Voraus und einen schönen Abend :)
4 Antworten
'Wendepunkt immer die größtmögliche Steigung'
Falsch. Gegenbeispiel: y = x^3. Die Steigung im Wendepunkt ist Null.
Warum willst Du also eine falsche Behauptung begründen?
Ich soll Stellung zu dieser Behauptung nehmen. Mit diesem Beispiel kann ich diese Behauptung widerlegen, denn der Wendepunkt weist entweder die größtmögliche oder die kleinstmögliche Steigung auf. Danke
Im Übergang von rechtsgekrümmt zu lingsgekrümmt hat der Graph die lokal geringste Steigung, von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt ist es umgekehrt.
Überprüfe diese Aussage und begründe deine Entscheidung: Ein Wendepunkt weist immer die größtmögliche Steigung auf.
Mit Hilfe der Ableitung bestimmst Du die Extremwerte einer Funktion. Setzt Du die 1. Ableitung gleich Null, so kommst Du an die Extremwerte der Funktion. Mit der 2. Ableitung prüfst Du dann noch, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.
Setzt Du die 2. Ableitung Null, so ermittelst Du die Extremwerte der 1. Ableitung, d. h. Du kommst an die "extremsten Steigungen" der Funktion. Mit der 3. Ableitung bestimmst Du dann, ob die Steigung maximal oder minimal ist (so wie Du mit der 2. Ableitung ja prüfst, ob der Funktionswert bei f'(x)=0 maximal oder minimal ist...). Ist nun die 3. Ableitung größer Null, dann ist die Steigung minimal (die Funktion wechselt von rechts- nach linksgekrümmt); ist sie kleiner Null, dann ist die Steigung maximal (die Funktion wechselt von links- nach rechtsgekrümmt).
Die Funktion f(x) = x^3 hat an ihrem Wendepunkt die kleinste Steigung.
Weil der Graph aus der Rechtskrümmung in die Linkskrümmung übergeht?
nö - das hat mit Rechts- oder Linkskrümmung nix zu tun. Wäre
f(x) = -x^3, dann wäre die Steigung dort immer noch = 0 (sonst wäre sie allerdings noch geringer).
Ich habe obiges Beispiel nur angeführt, um den Satz "hat im Wendepunkt immer die größte Steigung" mit einem konkreten Beispiel zu widerlegen - und so lassen sich vermutlich noch zig Beispiele finden, wo ein Wendepunkt (wo es nur um die Unterscheidung zwischen Rechts- und Linkskrümmung geht) nicht in irgendeinem zwangsläufigen Zusammenhang mit größter (oder kleinster) Steigung steht.
Selbstverständlich lässt sich das damit in Zusammenhang setzen.
f(x)=x^3 ist ja erst rechts-, dann linksgekrümmt -> Die erste Ableitung (oder eben die Steigung) hat am Wendepunkt ein Minimum.
f(x)=-x^3 ist erst links-, dann rechtsgekrümmt -> Die erste
Ableitung hat am Wendepunkt ein Maximum.
Ah jetzt hab ich es, danke. Die Behauptung kam nicht von mir, es war eine Übungsaufgaben, in welcher ich Stellung zu dieser Behauptung nehmen soll.
Danke.
Wie könnte man in etwa eine Antwort in einer Mathearbeit formulieren? Mir würde auch nur ein Ansatz helfen.