Lange Funktion ableiten
Steh grad total am schlauch: ich soll die Funktion a(x) = x(lnx)²-2xlnx+2x ableiten. Weiß einfach nicht wie ich das angehen soll. Ich meine den Funktion besteht ja aus mehreren Faktoren soll ich zuerst das lnx)² ableite, oder wo fangt man da am besten an ? :D
7 Antworten
Erstmal kannst du einfach Summandenweise ableiten. D.h. du leitest folgende Terme einzeln ab:
f(x) = x(ln(x))²
g(x) = -2x * ln(x)
h(x) = 2x.
g kannst du mit der Produktregel ableiten, bei f kannst du dir zunächst mit der Kettenregel überlegen, was (ln(x))² abgeleitet ist und dann die Produktregel anwenden...
Am Ende erhältst du a '(x) = f '(x) + g '(x) + h '(x).
a'(x) = [1*(lnx)² + (1/x)*x*(2lnx)] - [2lnx + (1/x)*x*2] + 2
= ln²x + 2lnx - 2lnx - 2 + 2
= ln²x
Genau, summandenweise. Du musst nur wissen, dass y ' = 1/x gilt, wenn y = ln(x) ist.
Kettenregel: dy/dx = dy/du * du/dx
Produktregel: y ' = u ' * v + u * v ', wenn y = u * v ist.
Ist y = (ln(x))², dann ist ln(x) = u zu substituieren. Es heißt dann:
u = ln(x) und du/dx = 1/x
y = ln(u), dy/du = 1/u = 1/ln(x) nach Rücksubstitution. Viel Erfolg!
Sorry, Korrektur:
y = (ln(x))²
u = ln(x), daraus folgt: y = u² und dy/du = 2u = 2 * ln(x)
Mittels Summen-, Ketten- und Produktregel kannst du die Funktion ableiten
a '(x) = 1* 2ln(x) * 1/x -( 2*lnx +1/x ) +2
Jetzt noch zusammenfassen