Wie zeige, dass eine Funktion f(x) größer als die andere Funktion g(x) ist?
Hallo, ich stehe gerade am Schlauch und weiss auch nicht, wie ich das angehen muss.
Hab eine Funktion f(x) mit f(x) = (2x / (x^2+1)) und g(x) mit g(x) = x für x aus R.
Frage: Zeigen Sie, dass f(x) > g(x) gilt für 0<x<1. 0 und 1 sind wohl die Schnittpunkte beider Funktionen.
Hat da jmd. einen Tipp??
Vielen Dank im Voraus:)
4 Antworten
Vielleicht auch so:
2x / (x²+1) > x (x rauskürzen und umstellen:
2 > x² +1
x² darf nicht 1 werden, also alle gemeinen Brüche zwischen 0 und 1!
Lieber ac1000!
Wenn du oben richtig gelesen hast, gilt
f(x) > g(x)
nur für Werte zwischen 0 und 1!
Damit sind deine Kommentare nichtig!
Wenn du oben richtig gelesen hast, gilt f(x) > g(x) nur für Werte zwischen 0 und 1!
Lieber UlrichNagel, wenn du richtig gelesen hättest: oben steht:
"Frage: Zeigen Sie, dass f(x) > g(x) gilt für 0<x<1. 0 [...]"
0<x<1. 0 ist keine Voraussetzung, sondern Teil dessen, was bewiesen werden muss. Damit ist deine Replik auf meinen Kommentar nichtig.
Wenn du zeigst, dass es zwischen 0 und 1 keine weiteren Schnittpunkte gibt, und dass f(x)>g(x) ist, dann sollte es eigentlich ausreichen. Für x setzt du eine Zahl größer null und kleiner eins ein.
Es ist immer gut, mit der Differenzfunktion zu arbeiten, weil die Nullstellen dieser Funktion die Schnittpunkte (x-Werte) der beiden Kurven ergeben.
DH für Melvissimo.
Zeige doch, dass h(x) = f(x) - g(x) die Nullstellen 0 und 1 hat (und es dazwischen keine weiteren Nullstellen gibt) und dass irgendein Funktionswert im Intervall (0,1) positiv ist. Dann müssen automatisch alle Funktionswerte dort positiv sein, da die Funktion stetig ist und es andernfalls eine weitere Nullstelle zwischen 0 und 1 geben müsste.
Dieser Schritt ist falsch, weil man für x<0 durch eine negative Zahl dividiert, und dann aber das Ungleichheitszeichen umgedreht werden müsste. Es müsste also eine Fallunterscheidung zwischen x>0 und x<0 gemacht werden. Eine weitere Fallunterscheidng wäre für den Fall x=0 nötig, da man nicht durch 0 dividieren kann.
Hier wird der Fehlern deutlich. x=-1/2 ist eine Lösung dieser Ungleichung, aber nicht der ursprünglichen. Auch x=0 ist nun plötzlich eine Lösung. Einsetzen in die ursprüngliche Ungleichung zeigt aber, dass x=0 falsch ist.
Und die irrationalen. Allerdings hast du deine eigene Ungleichung nicht richtig gelesen, denn diese würde (fälschlicherweise) alle Zahlen zwischen -1 und 1 als Lösungen liefern.