Extrema einer Funktion?
Hallo zusammen! Es geht um folgendes Beispiel und wie man es schafft die Nullstellen einer Polynomfunktion 3ten Grades zu bestimmen. Mein Ansatz wäre mit einer Polynomdivision aber dafür bräuchte man ja eine Nullstelle gegeben bzw. wenn man mit Zahlenwerten einsetzt kommt leider keine Nullstelle heraus. Kann mir da wer weiterhelfen bitte? LG
1 Antwort
Es geht um folgendes Beispiel und wie man es schafft die Nullstellen einer Polynomfunktion 3ten Grades zu bestimmen.
Zu meiner Schulzeit hatten wir keine GTRs, die Cardanischen Formeln standen nicht auf unserem Lehrplan und numerische Methoden habe ich erst später an der Uni gelernt. Daher gab es auch keine Möglichkeit die Nullstellen für diese Funktion zu finden (und kein Aufgabensteller wäre auch auf die Idee gekommen, das zu verlangen).
Siehe auch: https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Power%5Bx%2C3%5D%2B4Power%5Bx%2C2%5D-4%3D0
... und was schreibe ich? Dein Kommentar beschreibt Im Endeffekt den Ansatz einer numerischen Methode.
Naja, der zweite Absatz tut das. Meine Ungleichung am Ende des ersten Absatzes ist aber eine (wenn auch eher schwache) Aussage über die Nullstellen von f(x), die mit Oberstufenmathematik als Grundlage getroffen werden kann. Da nicht klar ist, welche Methoden dem Fragesteller zur Verfügung stehen (Cardanische Formeln hasttest Du ja bereits genannt, numerische Verfahren gibt's auch ein paar), wollte ich eine Aussage ergänzen, die unterhalb von Uni-Niveau möglich ist. Das sind dann eben keine Gleichungen, sondern nur Ungleichungen.
Mit folgendem Ansatz bekommt man zwar keine exakten Werte heraus, aber zumindest Näherungen: Es kann höchstens drei Nullstellen geben (wg. Polynomgrad = 3). Aus der Ableitung (faktorisiert zu x(3x-8) ) folgen Extrema bei 0 (wobei f(0)<0) und bei -8/3 (wobei f(-8/3)>0) - dazwischen muss also (mindestens) eine Nullstelle liegen. Da f(-5)<0 und f(2)>0, kann man über die Nullstellen x1, x2, x3 sagen: -5 < x1 < -8/3 < x2 < 0 < x3 < 2.
Wenn man sich noch näher rantastet (d.h. sich x-Werte in dem jeweiligen Intervall ausdenkt und die in f einsetzt; die Nullstelle muss dann in jenem Teilintervall - d.h. linker Wert bis neues X oder neues x bis rechter Wert - liegen, in dem f das Vorzeichen wechselt), kann man noch genauere Abschätzungen angeben (und landet dann z.B. bei 0.9 < x3 < 1.0, weil f(0.9) <0 und f(1)>0). Ist aber sehr zeitaufwändig!