Erste Ableitung auf Monotonie?
Hallo, die Aufgabe lautet:
Untersuchen Sie die Funktion f mithilfe der ersten Ableitung auf Monotonie.
a) f(x) = 4x+x(hoch2)
b) f(x) = x(hoch4) - 2x(hoch2)
wie löst man die Aufgabe?
8 Antworten
Naja die Ableitung einer Funktion beschreibt ja die Steigung also die Monotonie der Funktion.
Also ich würde:
Ableiten. Ableitung nach Nullstellen durchsuchen. Nochmal Ableiten und schauen ob an dieser Stelle die zweite Ableitung =0 oder >0 oder <0 ist.
Dann hast du nämlich Extrema der Funktion gefunden und hast sie sogar mithilfe der zweiten Ableitung klassifiziert, also nachgeschaut ob es ein minimum oder ein maximum ist oder halt ein Sattelpunkt. Jetzt hast du schonmal ein Bild im Kopf mit dem du viel anfangen kannst. Ist jetzt z.B. -5 ein minimum und 3 ein maximum und dazwischen befindet sich keine extremstelle, so kannst du sagen, dass die Funktion auf dem Intervall [-5,3] streng monoton steigend ist. Oder einfacher gesagt: von -5 bis 3 steigt die funktion streng monoton.
Untersuche die Ableitung: Dort, wo eine Nullstelle ist, verändert sie möglicherweise ihr Monotonieverhalten (wenn es von plus auf minus geht oder umgekehrt.
Man sieht, dass f' für x<-2 negativ ist und für x > -2 positiv, also haben wir bei x=-2 einen Übergang von monoton fallend auf monoton steigend. Im Übrigen sind Vorzeichenwechsel nicht möglich, auch keine weiteren Nullstellen, damit ist von minus unendlich bis -2 streng monoton fallend von -2 bis +unendlich streng monoton steigend. Dass der Punkt -2 zweimal vorkommt, schadet nicht, weil eine Steigung nie aus einem Punkt allein besteht.
Bei ganz einfachen Funktionen wie die a, reicht es einfach eine Ungleichung zu lösen.
Bestimme wo die Funktion streng monoton steigt.
Für x > -2 ist f streng monoton steigend. Da es sich aber hier um eine quadratische Funktion handelt und diese nach oben geöffnet ist, gilt für x < -2 ist f streng monoton fallend. Für x = -2 hat f einen Tiefpunkt.
Werden die Funktion komplexer so ist es ratsam die Extremstellen zu bestimmen(siehe andere AG).
erste Ableitung bilden und dann schauen, in welchen Intervallen diese Ableitung größer Null (Funktion steigend) bzw. kleiner Null (Funktion fallend) ist...
(bei a) ists noch recht leicht mit einer Ungleichung [f'(x)>0] zu ermitteln; bei b) am Besten die Nullstellen der Ableitung ausrechnen, also f'(x)=0 ausrechnen, und dann die Intervalle von Nullstelle zu Nullstelle prüfen, ob hier die Ableitung kleiner oder größer Null ist)
Die erste Ableitung f' zeigt die Monotonie der Funktion f an.
Also erkläre das Monotonieverhalten von f anhand von f'. Dazu gehört unter anderem dazu, dass du die Nullstellen ermittelst (Steigung = 0 bzw. Hoch/Tiefpunkt) und links bzw. rechts der Nullstellen, ob die Ableitung negativ (Monotonie = fallend) oder positiv (Monotonie = steigend) ist.