Untersuchen Sie die Funktion f mithilfe der ersten Ableitung auf Monotonie?
Hallo, kann mir jemand folgende Aufgabe beantworten bzw. erklären? Dankeschön !!!
2 Antworten
Die Monotonie erkennt man an der ersten Ableitung. Man muss wissen, welche Steigung die Funktion an den einzelnen Punkten hat. Zu unterscheiden ist zwischen monoton und streng monoton. Streng monoton bedeutet, dass die Steigung Null nicht dazugehört. Monoton (steigend/fallend) lässt auch die Steigung gleich Null zu.
Du musst also auf Extremstellen untersuchen. Wie Du Extremstellen findest, ist hier erklärt:
Nachdem Du alle Extremstellen kennst, fertigst Du eine Skizze der Funktion an, um die Monotonie zu erkennen.
Zuerst musst Du f ableiten, d. h. f'(x) bilden. Überall dort, wo f'(x)>=0 gilt, ist die Funktion streng monoton steigend; bei <=0 entsprechend streng monoton fallend (das Gleichheitszeichen ist hier in den Ungleichungen korrekt, weil es sich um Polynomfunktionen mit Grad größer 1 handelt, und dabei gibt es keine waagerechten Abschnitte, d. h. mehrere gleiche Funktionswerte nebeneinander - denn nur dann fällt das "streng" weg).
Statt eine Ungleichung kannst Du sicher leichter eine Gleichung (also f'(x)=0) lösen. Mit den Lösungen (hier sind es zwei, weil die Ableitung eine quadr. Funktion ist) stellst Du dann die möglichen Intervalle auf ([-unendlich;x1];[x1;x2];[x2;+unendlich]) und prüfst diese Intervalle, ob die Steigungen darin positiv oder negativ sind, indem Du irgendeine Zahl innerhalb der jeweiligen Intervalle in f'(x) einsetzt und schaust was rauskommt ob größer oder kleiner Null, das gilt dann natürlich für das gesamte Intervall.