Wieso ist x^3+sin(2x) keine ganzrat. Fnkt?
Ganzrationale funktionen sind ja Summen von Termen von Potenzfunktionen, also sind bspw. x^3 und x^(91)+x^(81)+x^(9) auch ganzrationale Funktionen. Grafisch gesehen müssen sie ja immer auf der neg. x-achse von irgendwo weit weg herkommen und dann mind. so eine Pause/Bogen irgendwo machen und dann wieder auf der pos. x-achse irgendwo hin abhauen.
Ich habe mal x^3 und x^(91)+x^(81)+x^(9) und x^3+sin(2x) in Geogebra eingegeben, und die sinusfnkt sieht auch fast so aus wie die x^3 fnkt. Außerdem wenn man bei sin(2x) hoch 1 hinschreiben würde, wäre das ja auch ein Potenztherm..
Also wieso ist diese sinusfnkt dann keine ganzrationale Funktion?
(Wir haben in der Schule so eine Aufgabe im Buch gemacht, wo wir unterschiedliche Funktionen haben und entscheiden müssen, ob sie ganzrational ist oder nicht und in meinem heft steht, dass x^3+sin(2x) keine sei, weil sie eine sinusfunktion ist.
Und allg. würde ich diese Begründung auch verstehen, weil sin-fnkten ja nie irgendwo auf der y-richtung abhauen, wie ganzrat.fnkt. das immer machen, aber bei diesem besonderen fall, wo x^3 davor steht, müsste es doch eine sein, oder?)
Ich freue mich auf Antworten,
LG Mayu :)
2 Antworten
Schau dir die Definition an. sin x ist eben keine (nicht als Summe k mal x hoch irgendwas darstellbar)
Die sinus-Funktion ist keine ganzrationale Funktion.
Ganzrationale Funktionen kann man als endliche Summe von Potenzfunktionen darstellen, für die Sinusfunktion trifft das nicht zu.
Wenn du die Summe aus einer ganzrationalen und der Sinus-Funktion bildest, ist das Ergebnis keine ganzrationale Funktion mehr.
Edit:
Dass der Graph der Funktion "ja immer auf der neg. x-achse von irgendwo weit weg herkommt und ... dann wieder auf der pos. x-achse irgendwo hin abhaut" ist nicht das entscheidende Kriterium. Das trifft zum Beispiel auch für
zu. Die ist auch irgendwie aus Potenzen zusammengebastelt, aber keine Potenzfunktion, weil das x im Exponenten und nicht in der Basis steht.
Eine Potenzfunktion hat die Form
mit irgendeiner festgelegten (reellen) Zahl a als Faktor und einer festgelegten ganzen Zahl n als Exponent.
Das ist die Taylorreihe für den Sinus, sie ist unendlich und daher keine ganzrationale Funktion.
Endlich als Gegensatz zu unendlich.
Bei jeder ganzrationalen Funktion kann man die Summanden nach dem Exponenten sortieren. Weil es nur endlich viele sind, gibt es immer einen größten Exponenten. Der größte Exponent ist der Grad der Funktion. Das weißt du vermutlich.
Die Sinusfunktion kann man tatsächlich auch als Summe von Potenzfunktionen darstellen, die nach einem bestimmten Schema aufgebaut sind. Das nennt man Taylorreihe. Die Taylorreihe für den Sinus besteht aus unendlich vielen Summanden. Je mehr man davon ausrechnet, umso genauer ist das Ergebnis.
Da man in Antworten auf Antworten keine Bilder und Formeln mehr einfügen kann, habe ich die Formel für den Sinus oben in meine Antwort als Edit eingefügt. Wenn dir das nichts sagt, musst du dir keine Sorgen machen. Das lernt man im Studium.
Was meinst du mit "endliche Summe" ?
Das war ja nicht das einzige, ich meinte ja auch, dass sie zwischen dem von irgendwo herkommen und dem nach irgendwo abhauen noch so eine "besondere, unreguläre Pause" dazwischen haben, entweder eine linie oder eine/mehrere Wellen.
Nein, weil die ja aussieht wie eine Parabel (?). Auf jeden Fall hat die ja nicht diese besondere Stelle zwischen dem kommen und gehen, aber diese sinusfunktion als Summe mit x^3 ja schon, das habe ich gemeint
Aber ja durch
habe ich es schlussendlich doch verstanden, danke :)
Könntest du mir aber trotzdem noch sagen, was du mit "endlich" meinst?
LG und vielen Dank!!