Wieso geht stets beim ein Grad beim Ableiten einer ganzrationalen Funktion ,,verloren"?

Zum Einen kann man das sehr gut mit der Grenzwert-Definition der Ableitung begründen, wie Halbrecht es schon erwähnt hat.

(Nennen wir die Größe, die hierbei gegen 0 geht, wie üblich h.)

Hier fallen die beiden Summanden "nullter Ordnung in h" (was die Simmanden n. Ordnung in x sind) im Zähler weg, und die Summanden 1. Ordnung in h sind von (n-1). Ordnung in x - und genau diese sind es, die in der Ableitung übrig bleiben.

Das ist vermutlich die Antwort, die in der Schule erwartet wird.

Man kann noch hinzufügen:

Damit liegt es an den Potenzkombinationen im binomischen Satz und daran, dass die Ableitung eine Näherung 1. Ordnung (Tangente max. 1. Ordnung) darstellt.

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Der Physiker argumentiert gern mit Einheiten, und das passt auch hier:

Im Raum der Einheiten ist die Ableitung von y nach x die Division der Einheit von y durch die Einheit von x:

[ dy / dx ] = [x] / [y]

Wenn f ein Polynom der Ordnung n ist, ist

f(x) = a_n x^n + O(x^(n-1))

also [f(x)] = [a_n] [x]^n

und [f'(x)] = ([a_n] [x]^n) / [x] = [a_n] [x]^(n-1)

Da wir keine weitere Größe der Dimension [x] bzw. 1/[x] sinnvoll einbringen können, bleibt nur eine Division durch x, um die Einheiten auszugleichen. Damit muss

f'(x) = c × a_n × x^(n-1) + O(x^(n-2))

sein, wobei [c] = 1 ist (c ist eine reine Zahl).

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Zusatzfrage: Welchen Grad müsste man hiernach der Logarithmus-Funktion zuweisen? Warum kann man hier kein Polynom dieses Grades verwenden?

Schau mal beim Ableiten, was du machst, du ziehst bei einer Potenzfunktion einen ab, also verlierst du ein Grad

Der Grad geht nicht verloren. Er wird nur um eins kleiner als die ursprüngliche Funktion.

ich würde das mit der h - Methode begründen :

weil h = x-x0 ist und in f der Grad der Fkt ist , fällt beim dividieren ein Grad weg.