warum ist eine doppelte polstelle immer ohne vorzeichenwechsel?

Richtig, aber angenommen das Zählepolynom beinhaltete eine Nullstelle, die auch das Nennerpolynom aufwiese, so könnte, ohne Veränderung des Definitionsbereiches der Funktion die gebrochenrationale Funktion vereinfacht werden, indem ein Linearfaktor gekürzt wird. Folglich hätte das Nennerpolynom nur noch eine einfache Nullstelle, was im Widerspruch zur Annahme steht, dass das Nennerpolynom eine Nullstelle zweiter Ordnung aufweisen muss.

Um einen Vorzeichenwechsel zu haben, muss zumindest eine Nullstelle durchquert werden. Betrachte folglich eine kleine Umgebung der Nullstelle des Nennerpolynoms, wobei klein in dem Sinne zu verstehen sei, dass es keine Nullstellen des Zähler- und Nennerpolynoms gibt, die in dieser Umgebung liegen. Dann kann der Vorzeichenwechsel nur an der Nullstelle des Nennerpolynoms selber passieren.

Der telelogische Reduktionsschluss erlaubt die Betrachtungen auf Funktionen der Form,

f(x) = 1/(x-a)^2, a reelle Zahl

einzuschränken.

Wähle die Zahlen X_\epsilon = a-\epsilon, Y_\epsilon = a+\epsilon, wobei das positive \epsilon so gewählt sei, dass X_\epsilon, Y_\epsilon in der für die Durchführung des teleologischen Reduktionssychlusses notwendigen Umgebung der Nullstelle des Nennerpolynoms liegen. Durch Einsetzen erhält man,

f(\epsilon) = 1/\epsilon^2,

in beiden Fällen, was insbesondere die Wohldefiniertheit der Wahl des \epsilon impliziert. Da die Funktion g(x)=x^2 von den rellen Zahlen auf die nicht-negativen reellen Zahlen abbildet, ist der Nenner der Funktion f immer positiv, folglich ist der Wertebereich der Funktion f(x) immer maximal gleich der positiven rellen Zahlen. Durch Induktion nach Potenzen der eingeführten Funktion f(x) folgt dann die Behauptung. Die Wahl des positiven Vorzeichens des Zähler-Polynoms, nach Definition der gebrochenrationalen Funktion, ist ohne Beschränkung der Allgemeineheit der Betractung möglich, da hier die Nicht-Existenz des Vorzeichenswechsels untersucht wird.

Lange Rede kurzer Sinn: Die Asymptotik der Nennerfunktion dominiert hier - bei diesen Polstellen handelt es sich um Aussagen über das lokale Verhalten von Funktionen in der Umgebung der Polstelle.

Gib dir einfach mal irgendeine ganzrationale Funktion, faktorisiert in Linearfaktoren vor, und spiele ein bisschen damit rum. also lass' sie dir z.B. plotten.

VG, dongodongo,

Damit der Zähler das Vorzeichen am Poldurchlauf ändern kann, muss er im Pol eine Nullstelle haben (nur bei einer Nullstelle wechselt Plus und Minus). Hat der Zähler tatsächlich eine Nullstelle, kann man einen Term (x-x_0) in Zähler und Nenner ausklammern und kürzen, bis der Zähler keine Nullstelle hat.