Steckbriefaufgabe?
Könnte mir jemand bitte helfen?
Bestimme eine ganzrationale Funktlon fünften Grades, deren Graph zu O (0 0) punkt- symmetrisch ist, durch P(1/-2) verläuft und E(√2/ -√8) als relativen Extrempunkt hat. Untorsuche den Graphen der Funktion.
2 Antworten
Eine ganzrationale Funktion die punktsymmetrisch zum Ursprung ist hat nur ungerade Potenzen, das bedeutet alle Koeffizienten vor den geraden Potenzen haben den Wert Null.
Also :
f(x) = a * x ^ 5 + b * x ^ 3 + c * x
Informationen die du kennst :
f(1) = - 2
f(√(2)) = - √(8)
f´(√(2)) = 0
1-te Ableitung von f(x) bilden :
f´(x) = 5 * a * x ^ 4 + 3 * b * x ^ 2 + c
Damit stellst du ein Gleichungssystem auf :
I.) a * 1 ^ 5 + b * 1 ^ 3 + c * 1 = - 2
II.) a * (√(2)) ^ 5 + b * (√(2)) ^ 3 + c * √(2) = - √(8)
III.) 5 * a * (√(2)) ^ 4 + 3 * b * (√(2)) ^ 2 + c = 0
Wenn du dieses Gleichungssystem löst, dann erhältst du :
a = (1 / 2)
b = - (3 / 2)
c = - 1
Also :
f(x) = (1 / 2) * x ^ 5 - (3 / 2) * x ^ 3 - x
So sieht die Funktion dann aus :
Punktsymmetrisch zum Nullpunkt bedeutet, es kommen nur x-Potenzen mit ungeradem Exponenten vor, also allgemein: f(x)=ax⁵+bx³+cx, d. h. Du brauchst nur 3 Gleichungen. Du hast die Punkte P und E, wobei E eine Extremstelle ist, d. h. dort ist die Steigung bekannt... Damit kannst Du diese 3 Gleichungen aufstellen.