Wie gehe ich nun vor, um die Nullstellen dieser Funktion mit Parameter zu berechnen?

f(x) = x³ + ax = x(x² + a)         a > 0

1. Fall: x = 0
2. Fall: x² + a = 0
         x²     = -a
         x      gibt es nicht in ℝ

Es gibt also nur die Nullstelle x = 0.
Für Integrale ist das insofern wichtig,als dass
du über eine Nullstelle nicht hinwegintegrieren
solltest. Bei der Flächenberechnung werden sonst Teile
automatisch subtrahiert.
Das weiß man für diese Schar schon, bevor man 
irgendwelche Kurven ausrechnet.

Du gehst genauso vor wie bei der Nullstellenberechnung ohne Parameter, nur dass du jetzt in deiner Gleichung halt noch ein a stehen hast. Die Nullstellen werden dann als Terme mit a angegeben.

Bei dir also:



hat keine Lösung mehr, da das Quadrat einer Zahl nie negativ wird und a aber positiv ist.

Also ist die Lösung: x = 0

Anmerkung: Falls hier x^2 = a stehen würden, dann wäre also  auch eine Lösung. Das wird dann einfach mit a angegeben. Falls du dann für a mal eine Zahl einsetzt, kannst du das auch gleich in die Nullstelle einsetzten und musst diese nicht nochmal ausrechnen.

Du machst es genau so, wie Du es bei einer Zahl anstelle von a machen würdest und berechnest die Nullstellen.

Am Ende hast Du dann Nullstellen der Form:

N1 (a-7 / 0)

N2 (a+3 / 0)

Und damit rechnest Du munter weiter und integrierst damit.

Entweder verschwindet irgendwann das a oder als Ergebnis z.B. Deiner Fläche kommt dann eben sowas raus wie 10a - 5.