mathematik integralrechnung beispiel schwer?

Beginne mit der linken Parabel und nehme als Basis die Scheitelpunktform. Nutze die Koordinaten von S, um die Scheitelpunktform aufzustellen und setze die Koordinaten von Q ein, um den Steigungsfaktor a zu bestimmen.

Setze den x-Wert von P ein, um den zugehörigen y-Wert von P zu bestimmen.

Die Ableitung liefert die Steigung in P. Das ist auch die Steigung in P für die rechte Parabel.

Gehe für die rechte Parabel von der Normalform aus und leite diese ab. Mit P, N und der Steigung in P kannst Du drei Gleichungen aufstellen, um die unbekannten Parameter a, b und c der zweiten Parabel zu bestimmen.

Damit liegen die notwendigen Werte für die Integralrechnung (Volumenberechnung) vor.

...

Zunächst einmal solltest du die beiden Funktionsgleichungen finden.

Für den ersten Abschnitt...

Mit dem Scheitelpunkt S(1,5|1,5) erhält man den folgenden Ansatz in Scheitelpunktform...





Außerdem soll die Funktion durch den Punkt Q(0|3) verlaufen...









Dementsprechend erhält man als Funktionsgleichung für den ersten Abschnitt...









Als y-Koordinate des Punktes P( 2,25 | y[P] ) erhält man...



Für die Tangentensteigung am Punkt P wird zunächst die erste Ableitung von f₁ gebildet...



... und dort die Stelle x = 2,25 (x-Koordinate des Punkte P) eingesetzt...



Ansatz für den zweiten Abschnitt...





Nun soll die Funktion durch die Punkte P(2,25|1,877) und N(4,5|0) verlaufen, und am Punkt P die gleiche Tangentensteigung (= 1) wie zuvor haben. Also...







Also...







Also...







Als Lösung dieses linearen Gleichungssystems erhält man...



Also...



Für das Rotationsvolumen (bei Rotation um die x-Achse) erhält man nun...



































Da die Längenangaben in cm sind, ist das Volumen in cm³. Multipliziert man das Volumen mit der Dichte erhält man die Masse...





Parabel 1, Scheitel im Punkt S:

erster Ansatz: n*(x - 1.5)² + 1.5

f(0) = 3 --> n = 2/3

f(x) = 2/3*(x - 1.5)² + 1.5

Parabel 2:

g(x) = a*x² + b*x + c

g(2.25) = a*2.25² + b*2.25 + c = f(2.25) = 1.875

g'(2.25) = 2a*2.25 + b = f'(2.25) = 1

g(4.5) = a*4.5² + b*4.5 + c = 0

LGS mit drei Gleichungen für drei Unbekannte

Lösung a = -22/27, b = 14/3, c = -9/2

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Volumenintegral:

V1 = π * Integral[0, 2.25] f(x)² dx

V2 = π * Integral[2.25, 4] g(x)² dx

Die Stammfunktion von f(x)² lautet

F(x) = 4/45*x^5 - 2/3*x^4 +8/3*x^3 - 6*x^2 + 9*x + C

Die Stammfunktion von g(x)² lautet

G(x) = 484/3645*x^5 - 154/81*x^4 + 262/27*x^3 - 21*x^2 + 81/4*x + C

π * (F(2.25) - F(0) + G(4) - G(2.25)) ~ 46.7173 Einheiten

Du musst zuerst f bestimmen, das ist eine klassische Steckbriefaufgabe:

f(x) = ax² + bx + c

f(0) = 3

f(1,5) =1,5

f'(1,5) = 0

Dann kannst du y_p = f(2,25) bestimmen und auch die Steigung der Tangente an dieser Stelle, m= f'(2,25).

Damit hast du für die zweite Funktion die Werte

g(2,25) = y_p = f(2,25)

g'(2,25) = m = f'(2,25)

g(4,5) = 0

Und damit kannst du auch g bestimmen.

Jetzt noch stückweise das Rotationsintegral.