Exponentialgleichung lösen?
25e^(-0,2x) -25e^(-0,8x) =7
Wie löse ich das auf ?
3 Antworten
Probier es mal hier.
Mit der Substitution t = e^(-5x) erhältst du eine Gleichung vierten Grades. Die ist zwar auch nicht trivial lösbar, aber einfacher als das was da jetzt steht und leicht mit numerischen Methoden zu bearbeiten.
Wie löse ich das auf ?
Überhaupt nicht. Das ist analytisch offensichtlich nur im Komplexen zu lösen und ansonsten findest Du die reellen Lösungen numerisch (ein wenig wundert mich, dass Wolfram hier nicht einmal eine Lösung mit der ProduktLog-/Lambertsche W-Funktion anbietet)
Ref.: https://www.wolframalpha.com/input?i=25*e%5E%28-0.2x%29-25*e%5E%28-0.8x%29+%3D7
Ganz ehrlich: Ich habe mich nicht verlesen und mit der Lösung von biquadratischen Gleichungen habe ich mich mein Leben lang noch nicht beschäftigt (weiß natürlich, dass die lösbar sind) und wenn ich mir die Lösung von Wolfram zu -z^4+z-7/25=0 so kurz ansehe, dann habe ich das auch weiterhin nicht vor ;-).
(Bei Lambert habe ich tatsächlich aber nicht nachgedacht, da hast Du natürlich vollkommen recht)
Das ist keine biquadratische Gleichung, sonst wär's wesentlich einfacher.
Blöderweise steht neben z^4 nicht z^2, sondern z. -z^4+z^2-7/25=0 wäre biquadratisch und durch eine weitere Substitution z²=u ganz einfach zu lösen.
Hier braucht es entweder die Lösungsformel nach Cardano und Ferrari, die sehr aufwendig ist, oder einfach einen Taschenrechner, der die Ergebnisse in Nullkommanix ausspuckt (habe ich benutzt). Numerisch geht natürlich auch - aber wozu der Aufwand?
Ich lass es jetzt besser, ich red' mich grad um Kopf und Kragen. Du hast wie immer recht: Es ist eine Quartische Gleichung.
Klar kann man das auflösen. Wie DerRoll schrieb, läßt sich durch die Substitution z=e^(-0,2x) eine Gleichung 4. Grades erstellen:
-z^4+z-7/25=0.
Bis zum Grad 4 gibt es sogar geschlossene Lösungsformeln (Cardano/ Ferrari) für Polynomgleichungen.
Ist z ermittelt, geht es über den ln weiter.
Lösungen für x: x1=0,6381645249; x2=6,24551001.
Lambert brauchst Du nur, wenn das x sowohl im Exponenten als auch als Faktor an der Basis auftaucht.
Aber das weißt Du selbst. Ich glaube, Du hast Dich einfach nur verlesen und ein x gesehen, wo keins stand.