Divergenz im engeren Sinne?

"divergent" heißt zunächst einmal einfach dasselbe wie "nicht konvergent"

Jede Folge ohne (endlichen) Grenzwert ist also eine divergente Folge (im weiteren Sinne).

Einer Folge mit der Eigenschaft, dass es zu jeder reellen Zahl K ein N gibt, so dass a(n)>K für alle n mit n>N , nennt man "bestimmt divergent gegen +unendlich".  Man spricht dann auch von einem "uneigentlichen Grenzwert +unendlich".

Mit umgekehrten Vorzeichen kommt man zur Definition einer "bestimmt gegen -unendlich divergierenden Folge".

Alle anderen Folgen, die weder einen reellen "echten" Grenzwert noch einen "uneigentlichen Grenzwert" haben, gehören dann in die Kategorie der divergenten Folgen, deren Verhalten für große Werte von n anders ist. Schon einfache Beispiele z.B. von periodischen Folgen sind von dieser Art.  

Ich kenne "bestimmte Divergenz" und "unbestimmte Divergenz". Daneben noch Folgen mit mehr als einem Häufungspunkt, ein Spezialfall der unbestimmten Divergenz, und "absolut bestimmte Divergenz", ebenfalls ein Spezialfall der bestimmten oder der unbestimmten Divergenz. Bei Folgen mit mehr als einem Häufungspunkt gibt es auch Folgen mit endlich und Folgen mit unendlich vielen Häufungspunkten, hierunter solche mit abzählbar und solche mit überabzählbar vielen Häufungspunkten. Daneben unbeschränkte (also absolut divergente) Folgen mit endlich / unendlich vielen Häufungspunkten, unter letzteren solche mit beschränkter und unbeschränkter Menge von Häufungspunkten.

Welches hiervon ihr genau "Divergenz im engeren Sinne" nennt, kann ich maximal raten. Wegen der Gegenüberstellung zu konvergenten Folgen (natürlicherweise) und bestimmt divergenten Folgen, offensichtlich unbestimmt divergente Folgen. Vermutlich alle Arten hieraus, also unbestimmt aber absolut divergente, beschränkte etc.

a(n) = (-1)^n * n ist eine alternierende Folge, bei der die Absolutwerte gegen +unendlich gehen. Sie ist demnach unbestimmt und absolut divergent.

a(n) = (-1)^n ist die alternierende Folge (1, -1, 1, -1, ...), sie wechselt also zwischen +1 und -1 hin und her. Damit ist sie nicht konvergent, aber auch nicht bestimmt divergent und auch nicht absolut divergent, sondern eine beschränkte Folge mit mehr als einem Häufungspunkt - die Häufungspunkte sind +1 und -1.

a(n) = sin(n) ist eine Folge, die beschränkt ist und jede reelle Zahl im abgeschlossenen Intervall [-1,+1] als Häufungspunkt hat, sie ist ebenfalls nicht konvergent.

         /  0 ; n gerade
        |
a(n) = <    n ; Rest (n : 4) = 1
        |
        \  -n ; Rest (n : 4) = -1

hat als einzigen Häufungspunkt 0, ist aber unbestimmt divergent. Also nicht einmal die Eigenschaft, genau einen Häufungspunkt zu haben, reicht für die Konvergenz aus.

In der Hoffnung, alle Klarheiten beseitigt zu haben, verbleibe ich

etc. ...

Divergent im engeren Sinn bedeutet, dass die Folge divergiert, aber nicht gegen +∞ oder -∞ läuft. Zum Beispiel (ai) = (-1)^i