Ist eine Folge mit 2 Grenzwerten Divergent und konvergiert trotzdem?e^x als Grenzwert?
Ich denke, dass dn zwischen 2 und 4 alterniert. Hieraus würde sich ja ergeben, dass die Folge divergent ist. Ist die Aussage "dn konvergiert gegen die beiden Grenzwerte 2 und 4" dann trotzdem richtig? Oder lieg ich komplett falsch mit allem?
Mir ist bewusst, dass (1+x/n)^n wenn man n gegen unendlich laufen lässt den Grenzwert e^x hat und ich wahrscheinlich bn irgendwie in diese Form bringen soll, jedoch bin ich leider überfragt wie ich das tun würde. Hat irgendjemand eine Ahnung?
2 Antworten
Ich denke, dass dn zwischen 2 und 4 alterniert
Das stimmt, zumindest nähert sich die Folge abwechselnd beiden Werte an. Das bedeutet also, dass die Folge divergiert. Daher kann sie nicht konvergieren. Die Folge konvergiert nicht gegen 2 und 4. Sie besitzt aber die zwei Teilfolgen d_(2n) und d_(2n+1), die gegen 4 und 2 konvergieren. Falls die Folge d_n konvergiert, müssten alle Teilfolgen gegen den selben Wert konvergieren.
Bei b) sollst du vermutlich benutzen, dass (n/n-1))^n gegen e konvergiert. Oder das vielleicht sogar mitbeweisen. Dafür kannst du den dir bereits bekannten Limes sogar verwenden.
Den braucht es ja nicht. Wenn Nenner und Zähler getauscht werden, konvergiert die Folge gegen e^-1. Daher muss die Folge gegen e konvergieren, wenn wir nichts tauschen.
Ahh jetzt leuchtet es mir auch ein. Also das ergebnis wäre dann einfach die vierte Wurzel von e? Bei dem ^n+1 ändert das +1 ja nichts wenn n gegen unendlich läuft oder?
Ja genau. Das +1 bekommt man damit weg, indem du (n^6/(n^6-n^5)) einmal rausziehst und dir dann überlegst warum das gegen 1 konvergiert.
Hieraus würde sich ja ergeben, dass die Folge divergent ist. Ist die Aussage "dn konvergiert gegen die beiden Grenzwerte 2 und 4" dann trotzdem richtig?
Divergent. Schau dir das Konvergenzkriterium mal ganz genau an. Diese Formulierung ist sehr gefährlich, denn es steht eig. |s - x_n| < eps für alle eps > 0 und ab n > n_0 € N und genau das wird verletzt, wenn du annimmst es gibt einen Grenzwert s und dieser im nächsten n zu einem anderen springt. 2 und 4 sind hier sogenannte ,,Häufungspunkte". Die Folge hat aber konvergente Teilfolgen, nämlich für gerade n und für ungerade n.
Vielen dank für die Antwort auf die erste Frage. Bei der b) hätte ich jedoch noch eine Frage. N/4 bedeutet ja erstmal das man die vierte Wurzel ziehen soll. Danach würde dann in unter der Wurzel stehen (n/n-1)^n+1. Meines Wissens nach würde (1-1/n)^n gegen e^-1 konvergieren. Um (n/n-1)^n+1 in die Form (1-1/n)^n zu bringen müsste man ja eigentlich nur Nenner und Zähler von n/n-1 tauschen. Gibt es dafür irgendein vorgehen, dass den Wert nicht ändert?