Definitionsbereich?
Guten Abend,
kann mir jemand beim Definitionsbereich der Funktion f(x)=x^(cos(x)) helfen?
Es gibt auch ein paar Denkanstöße gratis dazu:
Die Funktion ist nicht an jeder Stelle definiert. Eine Lücke tritt beispielsweise auf, wenn x<0 und cos(x)=0,5 (also der Exponent 1/2) annimmt. Dann würde die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen, was aber im Bereich der reellen Zahlen hochgradig illegal ist.
Den gesamten Teil für x<0 auszugrenzen, halte ich jedoch für gemein, da es Stellen gibt (z. B. x=-2Pi), an denen der Exponent cos(x) durchaus legitime Werte (z. B. 1) annimmt.
Mein Korrektor meint, die Lösung sei x>0. Doch warum sollte die gegebene Funktion an der Stelle x=-2Pi nicht definiert sein?
Seine Begründung ist folgende: Er formt die Funktion um und bestimmt danach erst den Definitionsbereich:
f(x)=x^(cosx)=(e^(lnx))^(cosx)=e^(lnx×cosx).
Der ln(x) ist nur für x>0 definiert, daher gilt für die Funktion auch: x>0.
Diese These halte ich für fragwürdig, aber wie ist denn nun der "echte" Definitionsbereich und am besten noch: Wie kann ich den beweisen/herleiten?
Vielen Dank für jede Hilfe. 🙂
3 Antworten
Du hast vollkommen recht.
Der Fehlschluss Deines Korrektors liegt in der Annahme dass, da der Logarithmus für Werte <= 0 nicht definiert ist, die gesamte Funktion für x <= 0 nicht definiert ist. Das ist jedoch falsch.
Der Logarithmus ist für negative Argumente komplex. Allerdings wird der Exponent hier gleich wieder in die Exponentialfunktion eingesetzt, wodurch das Resultat für bestimmte Werte wieder reell ist.
Das wird anhand Deines Beispiels -2*pi ersichtlich:
und
Das f(x) für alle x < 0 nicht definiert ist, ist also Quatsch.
Ich hätte die Funktion eher so umgeformt:
für cos(x) ungleich 0.
Da wird schon etwas klarer, was zum Definitionsbereich gehört und was nicht.
Mit der Umformung Deines Korrektors hast Du doch schon eine plausible Begründung!
Formst Du das anders um, wie aperfect10 es ja auch schon getan hat, also in x^g(x)=[1/g(x)].Wurzel(x) dann kommst Du an das Problem, dass Du bei negativen x-Werten die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen musst.
Und genau da liegt das Problem. Das funktioniert bei negativen Zahlen generell nur bei "ungeraden" Wurzeln, d. h. 3., 5., 7. usw. Wurzel (z. B. 3.Wurzel(-8)=-2). Wobei man auch da je nachdem wie man rechnet in Konflikt kommen kann: (-8)^(2/6)=6.Wurzel((-8)²)=6.Wurzel(64)=+2
(-8)^(2/6)=(-8)^(1/3)=3.Wurzel(-8)=-2 ... was denn nun?!?
Daher schränkt man z. B. bei Exponentialfunktionen f(x)=a * b^x ja auch die Basis mit b>0 ein, um diesen "Problemen" von vornherein aus dem Weg zu gehen.
Bei Deinem "Spezialfall" (o. ä.) wäre ja dann die Funktion "theoretisch" auch immer dann definiert (die Funktionswerte sind bestimmbar bei x<0, wenn man "mögliche" Wurzeln aus negativen Zahlen zulässt), wenn cos(x) die Werte 0, +-1, a/3, a/5, a/7, usw. annimmt (a € Z). Das macht dann aber praktisch wohl eher keinen Sinn mehr...
Stimmt, habe den Gedanken außer acht gelassen, dass man ja auf die Idee kommen könnte diese Umformung auch auf "einfachste" Terme anzuwenden! Der Betrag würde dann zwar den Verlust im Definitionsbereich wett machen, aber die Wertemenge ist ja auch verändert, weil mit e^ keine negativen Ergebnisse mehr möglich sind.
Bliebe die Umformung in Wurzelschreibweise, bei der dann für x<0 "nur noch" die genannten (unendlich vielen) Einschränkungen als Definitionswerte greifen, sofern negative Radikanten akzeptiert würden - was bei Exponentialfunktionen nicht der Fall ist.
sicher durchsteigen "tu" ich auch nicht .
Mal ein paar Fundstücke :
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Man kann aber mal x^x sich anschauen
Def : x > 0 ......................warum dort keine Punkte für (-2)^(-2) = 1/4 usw sind ,war mir schon immer ein Rätsel .
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Wolfram macht es sogar noch differenzierter für x^(cos(x)) ,wobei x > 0 nur eine Alternative von vieren ist .
das problem scheint minus hoch minus zu sein
Ja, allerdings würde ich die Umformung von x zu x^ln(x) nicht als "plausibel" bezeichnen. Denn: Das könnte man ja immer tun. So könnte man auch die lineare Funktion f(x)=3x als f(x)=3x^ln(x) schreiben und infolgedessen den Definitionsbereich auf x>0 einschränken.
Aus der Umformung zu ln(x) folgen also Verluste im Definitionsbereich. Um diese zu vermeiden, müsste man ln|x| schreiben. Der Betrag wäre hier wichtig, um den Definitionsbereich nicht zu ändern.
Die Betragschreibweise vereinfacht die Frage nach dem größtmöglichen Definitionsbereich vom x^cos(x) und letztendlich auch x^x aber nicht.