Beweise: ggT (a,b,c) kleiner gleich ggT (a,b)?
Seien a,b,c elemente der natürlichen Zahlen,
dann ist der ggT(a,b,c) kleiner gleich ggT(a,b)
Kann das Jemand beweisen? :D
2 Antworten
ggT(a,b,c) teilt sowohl a als auch b und ist somit ein gemeinsamer Teiler und kleiner oder gleich dem größten gemeinsamen Teiler.
ggT ist assoziativ, d. h. ggT(a,b,c) = ggT(ggT(a,b),c) = ggT(a,ggT(b,c))
ggT(a,b) ist Teiler sowohl von a als auch von b
wenn m Teiler von n ist, ist m <= n
(vielleicht braucht man noch, dass ggT kommutativ ist: ggT(a,b) = ggT(b,a))
Der Knackpunkt ist, die Assoziativität zu beweisen.
Wenn die Primzahlzerlegung natürlicher Zahlen und die Eindeutigkeit dieser Zerlegung bekannt sind, läuft dies im Wesentlichen darauf hinaus, dass die Minimum-Funktion natürlicher Zahlen (ganzer Zahlen) assoziativ ist. Direkt mit den Teilern zu arbeiten dürfte es etwas komplizierter werden.