Unterschied Erwartungswert und arithmetisches Mittel?
Wenn ich jetzt als Beispiel folgende Zahlen nehme: 2, 3, 3, 4, 4, 5
Dann kriege ich für das arithmetische Mittel UND den Erwartungswert 3,5. Ich versteh jetzt nicht ganz, warum das so ist oder wo ich einen Fehler gemacht habe..
So hab ich das arithmetische Mittel berechnet: (2x1+3x2+4x2+5x1)/6= 7/2= 3,5
Und so den Erwartungswert: 2x1/6+3x2/6+4x2/6+5x1/6= 3,5
Was rechne ich da falsch??
3 Antworten
Das arithmetische Mittel ist ein Schätzer für den Erwartungswert.
Sprich wenn du unendlich viele Werte kennst ist der der Erwartungswert gleich dem Arithmetischen Mittel. Wenn du einige Stichproben einer Zufallsverteilung hast dann ist das Arithmetische Mittel nahe dem Erwartungswert wobei der Fehler mit weniger Stichproben zunimmt.
Das Arithmetische Mittel konvergiert also gegen den Erwartungswert.
Wenn deine Zufallszahlen insgesamt begrenzt sind und du alle kennst gilt Erwartungswert = arithmetisches Mittel.
Nehmen wir an du willst den Erwatungswert einer rellen Größe bestimmen. Nehmen wir dazu die Produktion einer Schraube an.
Du nimmst also 100 Schrauben und misst deren Länge und bestimmst den Mittelwert davon.
Den Erwatungswert kannst du nicht bestimmen weil du nicht die Millionen von Schrauben messen kannst welche die Maschine wärend ihrer gesamten Einsatzzeit produzieren kann.
Du hast am Ende nur eine Stichprobe.
Das selbe gilt zB für die Körpergröße aller Männer in Deutschland. Du kannst ja schlecht jeden Erwachsenen Mann im ganzen Land messen.
Auch für elektrische Messgrößen gilt das am Ende weil du alleine schon nicht unendlich schnell messen kannst aber sich das Signal quasi "unendlich" schnell ändern kann.
also wäre dann bei diesen zwei beispielen der erwartungswert≠arithmetische mittel oder?
Ja. Der Erwatungswert ist in diesem Beispieln praktisch gar nicht ermittelbar er lässt sich nur über das arithmetische Mittel abschätzen.
Nicht begrenzt wären die Zufallszahlen, wenn Du Dir z. B. alle möglichen 6-fachen Ziehungen in Deutschland in aller Zukunft und aller Vergangenheit aus den ganzen Zahlen 2-5 oder 1-6 oder 0-100 oder .... vorstellst
du rechnest nicht falsch
(2x1+3x2+4x2+5x1)/6= 7/2 ist dieselbe Rechnung 2x1/6+3x2/6+4x2/6+5x1/6= 3,5
Klammere hinten mal 1/6 aus ............2 + 2*3 + 2*4 + 5 mal 1/6
Und schreib das vorne mal mit :: mal 1/6 statt durch 6 . Was siehst du ?
.
Du rechnest alles richtig.
"Erwartungswert" und "arithmetisches Mittel" sind zwei eng miteinander verwandte Konzepte - manchmal gilt: Erwartungswert = arithmetisches Mittel.
Der Erwartungswert ist der Wert, den eine Zufallsvariable im Durchschnitt annimmt. Ist er unbekannt, müsste im Prinzip unendlich oft ein Wert gezogen werden und die Ergebnisse müssten gemittelt werden. Wenn Du eine Stichprobe ziehst (z.B. 10 Werte der Zufallsvariablen ziehst), ziehst Du ja nicht unendlich oft. Das arithmetische MIttel dieser Werte entspricht dann nicht dem Erwartungswert der Variablen.
also ist es quasi nur zufall? das da dasselbe rauskommt? und für die standardabweichung muss man minus den erwartungswert rechnen, oder?
Nein, das ist kein Zufall, dass da dasselbe herauskommt. Deine Zufallsvariable hat ja die Werte 2, 3, 3, 4, 4, 5
(bzw. man könnte auch sagen: 2, 3, 4, 5 und 2 und 5 werden mit einre Wahrscheinlichkeit von 1/6 gezogen und 3 und 4 jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3).
Du hast ja buchstäblich alle möglichen Werte der Zufallsvariable und mittelst die, und erhältst so den Wert, den die Variable im Durchschnitt annehmen würde (also den Erwartungswert). In deinem Beispiel sind die Werte völlig klar, und mit welcher Wahrscheinlichkeit jeder Wert auftreten würde.
Es gibt nur Situationen, wo nicht alle Werte der Zufallsvariablen bekannt sind, wo die genaue Verteilung der Werte nicht bekannt ist (d.h. man kennt nicht jede Wahrscheinlichkeit von jedem möglichen Wert). Dann kann man nur eine Stichprobe ziehen und das arithmetische MIttel berechnen, das dann ein Schätzer für den Erwartungswert ist, aber nicht dem Erwartugnswert entspricht.
in was für einem szenario wären die zufallszahlen denn nicht begrenzt? also wie wäre das dann formuliert, weil ich mir gerade nichts darunter vorstellen kann