Wieso gibt es bei meiner Gleichung keine Nullstelle?
Hallo,
Ich habe hier eine gebrochen rationale Funktion und soll die Definitionslücken und Nullstellen bestimmen. Die Funktion ist folgende:
f(t)=(2t+2)/(t²-1)
Laut Lösungsbuch hat diese Funktion keine Nullstelle. Meiner Meinung nach war doch die Nullstelle wenn der Zähler = 0 ergibt. Den einzigen Ansatz den ich hätte wäre, dass -1 ja auch eine behebbare Definitionslücke sein könnte aber wirklich auskennen mit behebbaren DL tu ich mich auch nicht.
Kann mir das jemand bitte erklären?
6 Antworten
Nein wenn du -1 einsetzt kommt im Nenner auch 0 raus und durch null darfst du nicht teilen. Deshalb ist die Lösung im Mathebuch richtig. -1² -> 1 und 1-1 ist bekanntlich 0.
Aus dem Nenner geht hervor, dass die Funktion bei +1 und bei -1 nicht definiert ist (3. Binomische Regel). Dann ist da auch keine NS, selbst wenn du aus dem Zähler eine herausbekommst.
Wenn du allerdings den Zähler zerlegst, könntest du durch (t+1) dividieren. Es würde 2/(t-1) bleiben. Und theoretisch könntest du mit einer zusätzlichen Definition f(t) = 2/(t-1) bei t = -1
die Lücke beheben.
An der anderen Unstetigkeitsstelle (t = +1) geht das aber nicht, denn es ist eine Polstelle. Die Kurve haut ins Unendliche ab.
Eine Nullstelle kannst du trotzdem nicht herstellen, denn auch mit der zusätzlichen Definition wird es eine Hyperbel mit der x-Achse als Asymptote.
Für die Schulmathematik ist klar, dass
2/(x-1) keine Nullstelle hat. (Polstelle bei x=1 geht gleichzeitig gegen +/- ∞)
Forscher, die neue Wege suchen, schauen sich den Grenzwert
LIMES 2/(x-1)
an und bei + und - UNENDLICH kommt 0 heraus.
Die Menschen interpretieren das unterschiedlich:
- für einige ist UNENDLICH gleich "nie erreichbar" (keine Lösung)
- andere notieren das Ergebnis mit +/- ∞ denn manchmal kann das für Nachfolgeberechnungen interessant sein (Herauskürzen, Fallunterscheidung, Rundung, Fehlerfortpflanzung, ...)
Beispiel Physik, wo solche Grenzbetrachtungen interessant sind:
es gibt in unserer realen Welt nichts kürzeres als die Planck-Länge 1,616*10^(-35) m
1.616*10^-35=2/(x-1) ergibt
x=123762376237623749727495524274143232
und dieses Ergebnis in Meter würde etwas über 10^19 Lichtjahre bedeuten. Zwar etwas größer als das momentan beobachtbare Weltall, aber eben nicht UNENDLICH.
Nun gibt es auch andere Planck Einheiten -> und überall könnte man einen Grenzwert weit unter UNENDLICH berechnen, ab dem das Ergebnis in der Physik 0 oder "nicht machbar" bedeutet.
Hallo MaKobenutzer,
der Zähler kürzt sich weg: f(t)=2(t+1)/(t^2-1)=2/(t-1)
Gruß von leiermann
Das ist auch ein guter Weg. Hab ich gar nicht gesehen. War so auf die Variablen fokussiert! Dankeschön :)
Das Problem ist hier, dass x = -1 eine Definitionslücke ist. wenn du Umformst auf t² - 1 = (t+1)(t-1) und 2t + 2 = 2(t+1), dann sieht deine Funktion aus wie 2(t+1)/(t+1)(t-1) = 2/(t-1) mit einer Polstelle bei x = 1 und keiner Nullstelle!
LG