Wie zeige ich eine Produktnorm?
Ich habe folgende Aufgabe in Analysis. Leider bereitet mir das Rechnen mit Normen große Probleme, weshalb ich überhaupt nicht weiter komme. Aus dem Internet habe ich schon etwas zur sogenannten Maximumsnorm gefunden, die eigentlich genauso aussieht wie in a), nur anwenden kann ich dies leider nicht. Wäre über jede Hilfe dankbar :)
2 Antworten
Das ist so eine Aufgabe, wo es darum geht, sehr stur die Eigenschaften der Norm abzuprüfen. Dazu nimmst du dir die Definition einer Norm und gehst das ganz einfach Stück für Stück durch:
Definitheit: Kannst du zeigen, dass ||(0,0)|| = 0 gilt? Einfach einsetzen:
||(0,0)|| = max {||0||_1,||0||_2}
Du weißt, dass _1 und _2 Normen sind, also gilt
max {||0||_1,||0||_2} = max{0 , 0} = 0 - und schon hast du die erste Normeigenschaft gezeigt. So machst du mit den nächsten weiter. Bei der Dreiecksungleichung musst du dann abschätzen, aber mit ein bisschen Überlegung ist auch das einfach.
Es geht hier um den Umgang mit Definitionen, da steckt keine Geheimwissenschaft hinter.
Das sind beliebige Normen (Bei X_1 fehlt an der Norm der Index unten (||.||_1)). Das kann die Maximumsnorm sein oder eine andere Norm.
Aufgabenteil (a) ist der Nachweis der Normeigenschaften unter den gegebenen Voraussetzungen.
Aufgabenteil (b): Hier must du Gleichheit der Umgebungen zeigen, d.h. Inklusion in beiden Richtungen. Die eine Richtung ist vermutlich recht einfach, die andere geht vermutlich per indirektem Beweis.
Diese Aufgaben sind dazu gedacht, dass du mit Normen besser umzugehen lernst. Also probier's und verrenne nicht einige Male, und versuche dann einen neuen Ansatz. Nur so lernst du das.
Selbst bei b) sollte das Hinschreiben der Definitionen schon direkt zum Ziel führen, denke ich, das max lässt sich leicht durch ein "und" ersetzen und schon ist man da.