Im Prinzip musst du nur prüfen, ob der Untervektorraum bzgl. der Skalarmultiplikation und der Addition abgeschlossen ist. Das kannst du einzeln machen, indem du zeigst:
Für alle a aus Q gilt: Für alle v aus U1 ist av ebenfalls in U1.
und:
Für alle u, v aus U1 ist u+v ebenfalls in U1.
Oder du machst es in einem Schritt:
Für alle a, b aus Q gilt: Für alle u, v aus U1 ist au + bv ebenfalls in U1.
Damit hat man jeweils auch bewiesen, dass der Nullvektor in Q liegt. Praktischerweise (weil es ein einfaches Kriterium ist) schaut man oft zuerst, ob er drin ist, weil man dann schon fertig ist. Und so ist es hier auch: Der Nullvektor liegt nicht in U1, also kann ich mir das weitere sparen.
Wenn ich das formal aufschreiben würde, dann könnte ich das auch so machen:
Seien a, b aus Q und u, v aus U1. Dann gibt es x, y aus Q mit
u = (x, x+1, x+2, x+4) und v=(y, y+1, y+2, y+4). Damit ist
au + bv = (ax + by, ax + 1 + by + 1, ax+ 2 + by+ 2, ax + 4 + by + 4)
= (ax+bv, ax + bv + 2 , ax+bv + 4, ax+bv + 8).
Da aber für alle Vektoren aus U1 gilt, dass sich die erste und zweite Komponente gerade um 1 unterscheiden, kann dieser Vektor nicht in U1 liegen, damit ist U1 nicht abgeschlossen und daher kein UVR.
Das ist der umständlichere Weg, denn - wie gesagt - reicht es schon zu zeigen, dass der Nullvektor nicht drin liegt.