Wie lautet dieses komplexe Wegintegral?

dabei ist der Weg des Integrals ein Kreis um den Punkt k+re^(it) von 0 bis 2pi

1 Antwort

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

rechnen, Funktion, Formel

09.05.2024, 16:22

Ich schreibe zum Vergleich zunächst noch einmal die Aufgabenstellung auf, so wie ich sie verstanden habe. Dann schreibe ich einen Lösungsvorschlag auf, wie ich die Aufgabe lösen würde.

====== Aufgabenstellung ======

Für einen Punkt k ∈ ℂ wird der Weg

mit einem Kreisradius r ∈ ℝ mit r > 0 betrachtet.
[Der Weg beschreibt einen Kreis um k mit Radius r.]

Gesucht ist nun der Wert des folgenden Wegintegrals:

====== Lösungsvorschlag ======

Zunächst einmal würde ich den Wert von Im(z) entlang des Weges γ betrachten...

Damit erhält man dann für das gesuchte Wegintegral...

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Inkognito-Nutzer

09.05.2024, 16:53

Ok danke, ich habe es berechnet, bei mir kommt -pi*r^2 raus, kann das sein?

mihisu

09.05.2024, 16:56

@Inkognito-Fragesteller

Ja, das passt. Ich komme zum gleichen Ergebnis. [Ich habe den Rest meiner Rechnung gerade am Ende meiner Antwort ergänzt.]

Nebenbemerkung: Ich hätte die Rechnung vielleicht noch ein wenig abkürzen können, wenn ich die Symmetrie der cos-Funktions bzw. der sin-Funktion etwas ausgenutzt hätte. Dann hätte ich gleich sagen können, dass gewisse Teile wegfallen. Aber das war mir zu blöd, da die Begründung ordentlich aufzuschreiben.

Hallo! ^w^

Es gibt ja die Zeta-Funktion.
Leonhard Euler hat sie definiert als

Und hat gezeigt, dass diese Reihe nur konvergiert, wenn s>1.
Bernhard Riemann hat dann komplexe Zahlen in diese Funktion eingegeben und gezeigt, dass sie nur dann konvergiert, wenn Re(s)>1.
Er hat sie dann aber mit analytischer Fortsetzung(keine Ahnung ob das der Deutsche Begriff ist) für die ganze Ebene der komplexen Zahlen definiert. Zumindest habe ich das so gelernt. Ich denke, dass das stimmt.

Die Riemannsche-Zeta-Funktion ist denke ich definiert als:Ich hoffe, man versteht das. Ich meine ein Integral von 0 bis unendlich und am Ende dt.

Aber wie ist der darauf gekommen? Wie hat er das gemacht?

Danke! ^w^

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We call this the "Critical line" wich is where the real part of s is exactly one half.

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public class QuicksortSimple {

  public void sort(int[] elements) {
    quicksort(elements, 0, elements.length - 1);
  }

  private void quicksort(int[] elements, int left, int right) {
    // End of recursion reached?
    if (left >= right) return;

    int pivotPos = partition(elements, left, right);
    quicksort(elements, left, pivotPos - 1);
    quicksort(elements, pivotPos + 1, right);
  }

  public int partition(int[] elements, int left, int right) {
    int pivot = elements[right];

    int i = left;
    int j = right - 1;
    while (i < j) {
      // Find the first element >= pivot
      while (elements[i] < pivot) {
        i++;
      }

      // Find the last element < pivot
      while (j > left && elements[j] >= pivot) {
        j--;
      }

      // If the greater element is left of the lesser element, switch them
      if (i < j) {
        ArrayUtils.swap(elements, i, j);
        i++;
        j--;
      }
    }

    // i == j means we haven't checked this index yet.
    // Move i right if necessary so that i marks the start of the right array.
    if (i == j && elements[i] < pivot) {
      i++;
    }

    // Move pivot element to its final position
    if (elements[i] != pivot) {
      ArrayUtils.swap(elements, i, right);
    }
    return i;
  }

}

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  int left = 0;
  int right = a.length - 1;

  while (left <= right) {
    int midpoint = (int)((left + right) / 2);

    if (z == a[midpoint]) {
      return midpoint;
    }

    if (z < a[midpoint]) {
      right = midpoint - 1;
    }
    else {
      left = midpoint + 1;
    }
  }

  return -1;
}

public static int binarySearchRecursive(int[] a, int z, int left, int right) {
  int midpoint = (int)((left + right) / 2);

  if (right < left) {
    return -1;
  }

  if (z == a[midpoint]) {
    return midpoint;
  }

  if (z < a[midpoint]) {
    return binarySearchRecursive(a, z, left, midpoint - 1);
  }
  else {
    return binarySearchRecursive(a, z, midpoint + 1, right);
  }
}

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