Wie bestimme ich die lokale Steigung mit Tabelle und Grenzwerberechbung?

Der Bruch entspricht dem "Differenzenquotienten", mit dem Du ja bekanntlich die Steigung zwischen 2 Punkten bestimmst. Da hier aber die Steigung an einer bestimmten Stelle x0 gesucht ist, wird mit dem Grenzwert gearbeitet, bei dem man das "allgemeine x" gegen die gewünschte Stelle x0 laufen lässt.

Die entsprechende "Formel" lautet: f'(x0)=lim x->x0 [f(x)-f(x0)]/(x-x0)

Hier wurde in der Lösung direkt der Wert für f(x0) eingesetzt:
f(x)=4-x² => x0=1; f(x0)=f(1)=4-1²=3 (daher die 3 im Zähler). Die 1 im Nenner kommt daher, dass x0 durch den x-Wert des Punkts P ersetzt wurde, dessen Steigung man ja wissen möchte.

Dass es gegen 1 geht, siehst Du in der Zeichnung an den Punkten P und Q, deren Steigungen Du bestimmen sollst: P hat den x0-Wert 1 und Q den x0-Wert 2.

woher in der Gleichung im Zähler die Zahl 3 kommt

Im Zähler steht: