Warum kann bei Linearfaktorzerlegung durch Polynomdivision ein Vorfaktor übrig bleiben (Siehe Beschreibung für Details und Bsp.)?

da du hier nicht die Nullstellen suchst, sondern die Nullstellen-Berechnung nur als Hilfe für die Linearfaktorzerlegung benutzt,

musst du nach der Polynomdiv. den Term 2x²+8x+58 zerlegen zu:

2(x²+4x+29) und mit der Klammer pq-Formel machen;

dadurch bleibt die 2 als Vorfaktor erhalten;

2(x-2)(....)(....)

Du benötigst die Polynomdivision.

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

https://www.youtube.com/results?search_query=polynomdivision+online

Dividiert wird durch den Linearfaktor (z - 2) weil eine Nullstelle bei x = 2 liegt.

(2 * z ^ 3 + 4 * z ^ 2 + 42 * z - 116) / (z - 2) = 2 * z ^ 2 + 8 * z + 58

2 * z ^ 2 + 8 * z + 58 = 0 | : 2

z ^ 2 + 4 * z + 29 = 0

Die pq-Formel wird auf die Form z ^ 2 + p * z + q = 0 angewendet.

pq - Formel -->

z _ 1, 2 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 – q )

p = 4

q = 29

p / 2 = 2

(p / 2) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4

z _ 1, 2 = - (2) - / + √(4 – 29)

z _ 1, 2 = - 2 - / + √(-25)

Der Ausdruck unter der Wurzel ist negativ, deshalb gibt es in den reellen Zahlen keine weiteren Nullstellen, aber in den komplexen Zahlen -->

z _ 1 = -2 - 5 * i

z _ 2 = -2 + 5 * i

i = imaginäre Einheit

Diesen Faktor darfst du nie unterschlagen. Er ergibt sich ganz automatisch bei der Aufspaltung und besagt ja etwas über die Streckung der Kurve.

Bei der Ermittlung der Nullstellen kann man ihn aber herausdividieren (und nur da!), weil die Nullstellen immer dieselben bleiben, egal mit welchem Faktor du die linke Seite multiplizierst. Denn rechts steht Null.
Du musst den Faktor natürlich ausklammern und dann dividieren, sonst vertust du dich womöglich.

Die 2 ist einfach die Zahl vor dem höchsten Exponenten.