Nullstellen = imaginäre Zahlen?
Hallo, ich habe eine Frage zur Kurvendiskussion: Ich bin eben dabei die Nullstellen für die Funktion
f(x) = ⅓x⁴ + 2x² + 9
auszurechnen.
Habe dann Substitution angewendet, wenn ich jedoch in den Taschenrechner bei Mode 5/3 (Casio) dann die Zahlen eingebe, kommt nur eine imaginäre Zahl raus, aber das kann ja nicht sein, weil das eine Prüfungsvorbereitung fürs Abi ist.
Das heißt, da müsste ja eigentlich eine richtige Zahl rauskommen, mit der ich dann weiterrechnen kann. Dieses Problem habe ich aber relativ häufig. Kann mir einer sagen, womit das zusammenhängt?
Die Substitution habe ich aber komplett richtig angewendet, habe statt x⁴ z² und statt x² z verwendet.
4 Antworten
Das heißt, da müsste ja eigentlich eine richtige Zahl rauskommen,…
Imaginäre Zahlen sind richtige Zahlen. Sie sind nur nicht reell.
…, mit der ich dann weiterrechnen kann.
Du kannst mit imaginären Zahlen rechnen. Sie wurden u.a. von Cardano verwendet, um auf dem Weg zur Lösung einer Gleichung an einer Stelle weiterrechnen zu können, an der Quadratwurzeln negativer Zahlen auftreten.
Bei Funktionen geraden Gerades ohne ungerade Potenzen von x kann es natürlich ohne Weiteres sein, dass es keine reellen Nullstellen gibt, das ist schon bei
g(x) = x²+1
der Fall. Für Extremstellen muss aber die Ableitung 0 sein, und da f'(x) eine kubische Funktion ist, hat sie in jedem Fall mindestens eine reelle Nullstelle:
f'(x) = (4/3)x³ + 4x = 4x(⅓x² + 1)
Somit ist x=0 reelle Nullstelle von f', die anderen sind, wie man mit etwas geübtem Auge sieht, imaginär. Der Vorzeichenwechsel ist garantiert, bei x=0 ist ein Minimum.
Es kann bei der Funktion auch keine normale nullstelle geben denn es müsste gelten:
1/3X^4 + 2X^2 = -9
damit der funktionswert 0 annimmt und da du x hoch einer graden zahl nimmst können nur grade werte herauskommen. Die Funktion hat also keine Nullstellen
Ich bin sicher so war es auch gemeint... Statt gerade halt positive Werte
Mal sehen...:
f(x) = 1/3*(z^2)+2*z+9
0 = z^2+6z+27
z_12 = -3 +- Sqrt(9-27)
z_12 = -3 +- Sqrt(-18)
Stimmt, da gibt es dann nur imaginäre Nullstellen. Kannst du dann nicht einfach antworten, dass es keine Nullstellen im Reellen gibt?
Das Problem ist ja, dass ich danach mit den Nullstellen weiterrechnen müsste (Minimal- und Maximalstellen). Das geht ja nicht ohne Zahlen als Nullstellen. Kann ich mit der imaginären Zahl dann einfach weiterrechnen oder wie ist das? Sorry, bin keine helle Leuchte in Mathe. :D
Erste Ableitung = 0
f(x)=1/3x⁴ + 2x³+9
f'(x) = 4/3x³ + 6x² = 0
Wofür benötigst du da die Nullstellen?
- Imaginäre Zahlen sind richtige Zahlen, nur keine Reellen.
- Um Minima und Maxima zu berechnen, brauchst Du nicht die Nullstellen von f(x), sondern von f'(x), und das ist eine Funktion 3.Grades, und die hat in jedem Fall reelle Nullstellen.
Ah ne, für Minimal, Maximal und Wendestellen brauche ich ja bloß die 1. bis 3. Ableitung, richtig? Damit haben ja die Nullstellen am Anfang nichts zu tun. Nur die Originalfunktion, in die ich dann die ermittelten x-Werte einsetze. Das Einzige, wofür ich die Nullstellen am Anfang bräuchte, wäre die Zeichnung.
Stimmt, da gibt es dann nur imaginäre Nullstellen.
Es handelt sich wenn man es richtig ausdrückt um komplexe Nullstellen. Imaginäre Nullstellen wären es wenn die reelle -3 vor jeder Wurzel fehlen würde.
Hi,
hier noch eine Argumentation; es gilt
f(x) = 1/3 x⁴ + 2x² + 9 = 1/3 (x² + 3)² + 6
Für alle x ∈ ℝ gilt :
1/3 (x² + 3)² ≥ 3, also 1/3 (x² + 3)² + 6 ≥ 9 , also f(x) ≥ 9
f hat auf ℝ also keine Nullstellen.
Gruß
Diese Begründung für das Fehlen von (reellen) Nullstellen ist falsch. Richtig wäre: Für alle reellen Werte von x muss der Wert des Terms (1/3)*x^4 + 2*x^2 größer oder gleich null sein und kann deshalb nicht den negativen Wert -9 annehmen.
(Übrigens: gerade Potenzen von ganzzahligen Werten können durchaus auch ungerade Zahlen ergeben)