In eine Kugel mit Radius r = 5 cm wird eine gerade quadratische Doppelpyramide einbeschrieben (vgl. Skizze)?

Schnellverfahren: Die Grundfläche der Doppelpyramide (die ein regelmäßiges Okta­eder ist) ist ein Quadrat, also ist ihre Fläche (so wie bei allen Vierecken mit auf­ein­an­der normal stehenden Diagonalen) das halbe Produkt der Diagonalen (2r)²/2=½r², das multiplizieren wir noch mit ⅔r (⅓r in jede Richtung) fürs Volumen und bekommen V₁=4r³/3.

Das Volumen der Kugel ist natürlich V₂=4πr³/3, und der Anteil der Pyramide am Kugelvolumen V₁/V₂=1/π=31.8%

pyramide

Seite a aus Pythagoras

a² = r² + r²

a = wurzel(50) 

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somit ist die Grundfläche w(50)*w(50) = praktische 50 cm² groß 

höhe ist r 

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2 * ( 1/3 * 5 * 50 ) = 500/3

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