Hilfe bei Abiaufgabe?
Hier im Bild ist die Ableitung der Schar: f(x)=sin(x)+k*x also f´(x)= cos(x)+k für die Werte k=-1 und k=1, da nur zwischen den beiden Werten für k Extremstellen vorhanden sind(f´(x)=0--> -k=cos(x)). Nun soll man noch die hinreichende Bedingung prüfen und in der Lösung steht:
Wie in der Skizze erkennbar, findet im Fall k=1 und k=-1 kein Vorzeichenwechsel statt, da dort der Cosinus die x-Achse nur berührt und nicht schneidet. Die Funktionenschar fk besitzt folglich nur für k∈(-1,1) Extremstellen.
Aber gibt es nicht eigentlich nur für -1<k<1 Extremstellen, da für k=1 und k=-1 die Steigung der Ableitung in den Nullstellen 0 ist und somit Sattelpunkte vorliegen?
Hoffe meine Frage ist halbwegs verständlich.
3 Antworten
Die Werte -1 < k < 1 werden durch k ∈ (-1,1) beschrieben. Die runden Klammern bedeuten, dass -1 und 1 nicht zur Menge dazu gehören, aber alle Werte dazwischen.
Für k = 1 und k = -1 sind sowohl die erste Ableitung als auch die zweite Ableitung gleich Null und die dritte Ableitung ist ungleich Null. Folglich liegen Sattelpunkte vor.
Vielen Dank! Ich hab schon vermutet dass es so ist, aber war mir unsicher, da wir diese schreibweise im unterricht nie benutzt haben.
Da die Ableitungen nie ihr Vorzeichen wechseln (es aber dennoch kritische Stellen gibt) für k = ±1, besitzen diese Funktionen
- sin(x)+x
- sin(x)–x
nur Sattelpunkte, keine Extrempunkte.
Ja. Aber genau das gibt dir die Lösung ja auch an.
beschreibt die Menge des offenen Intervalls von -1 bis 1. Heißt exakt -1<k<1.