Gibt es eine einfache Möglichkeit, alle Lösungen dieser Funktion zu ermitteln?
Grundlagen der Mathematik für Ingenieure:
Berechnen sie alle Nullstellen von
f(x) = 5 sin(x-1.5pi) + 3
Die ersten Lösungen kann man ja relativ leicht ermitteln. Allerdings wird es ekelig, die 2. jeweils zu bekommen, da der Abstand der Nullstellen hier wegen der Verschiebung in Y nicht mehr der halben Periodenlänge entspricht.
Gibt es eine einfachere Möglichkeit, ohne lange über die Extrempunkte zu rechnen?
2 Antworten
5*sin(x - 3/2*π) + 3 = 0
sin(x - 3/2*π) = -3/5
Wegen :
sin(x-y) = sin(x)*cos(y) - cos(x)*sin(y)
gilt:
sin(x - 3/2*π) = sin(x)*cos(3/2*π) - cos(x)*sin(3/2*π)
Wegen :
cos(3/2*π) = 0 und sin(3/2*π) = -1
folgt:
sin(x - 3/2*π) = cos(x)
Daraus folgt für die Nullstellen:
cos(x) = -3/5
Lösung:
x1 = 2*π*n - arccos(-3/5)
x2 = 2*π*n + arccos(-3/5)
n € Z
An das Theorem hab ich nicht gedacht, danke - aber immernoch kaum besser als das rausfummeln
Wenn man die ersten beiden Nullstellen kennt, kann man alle weiteren daraus konstruieren, indem man +2πk addiert. Der Abstand zwischen zwei benachtbarten Nullstellen entspricht zwar nicht mehr der halben Periodenlänge aber der Abstand zwischen der ersten und dritten, dritten und fünften usw. entspricht der vollen Periodenlänge, in dem Fall 2π.
Naja, das Problem ist eher die 2. Lsg ohne Parameter herauszufummeln..