Exponentielles Wachstum/ Begrenztes Wachstum Aufgabe?
Eine Pflanze ist 0.5m groß. Ihre Grenzgröße beträgt 3m. Sie wächst wöchentlich um 12% der Differenz von Grenzgröße und aktueller Größe. Nach wie vielen Wochen wächst sie weniger als 5cm pro Woche ? Danke im Vorraus.
1 Antwort
Der Loesungsweg (und die genaue Loesung) haengt davon ab, wie man die Aenderungsangabe in der Aufgabenstellung versteht. Mit H(t) bezeichne ich die Hoehe der Pflanze (in Metern) zum Zeitpunkt t (in Wochen). Es gilt also H(0) = 0,5.
Variante 1 (Rekursion): In Woche 1 waechst die Pflanze um 12% von 3-H(0) = 2,5 Metern, d.h. um 0,3 Meter. Also gilt H(1) = 0,8. Die Rekursion lautet allgemein H(t+1) = H(t) + 0,12 (3 - H(t)). Mit dieser Rechnung kommt man (nach 14 Schritten...) auf: H(14) = 2,5825; H(15) = 2,6326; H(16) = 2,6767. Also waechst die Pflanze ab Woche 15 um weniger als 5cm/Woche.
Variante 2 (Differentialgleichung): Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit betraegt zu jedem Zeitpunkt 12% der Differenz zur Grenzgroesse pro Woche. Also muss die Differentialgleichung H'(t) = 0,12 (3-H(t)) gelten. Dies ist die Differentialgleichung des beschraenkten Wachstums. Die Loesungsfunktion lautet H(t) = 3 - 2,5 * e^(-0,12 t). Gesucht sind nun die Zeiten, fuer die H'(t) < 0,05 gilt. Dies ist aequivalent zu t > ln(6)/0,12 ≈ 14,9 Wochen. Also waechst die Planze etwa ab Woche 15 um weniger als 5cm/Woche.
Bemerkung: Diese beiden Rechen-Verfahren liefern zwar aehnliche, aber dennoch im Allgemeinen verschiedene Resultate. Die zweite Variante ist typischerweise geschickter und realistischer. Im Anhang siehst Du einen Vergleich der Resultate.
