Den Erwartungswert einer Zufallsgröße berechnen?
Hallo,
Ich sitze gerade an meinen Mathehausuafgaben und komme leider nicht weiter. Die Aufgabe lautet:
Für einen Einsatz von 8€ darf man an folgendem Spiel teilnehmen.
Eine Urne enthält 6 rote Kugeln und 4 schwarze Kugeln. Es werden drei Kugeln mit einem Griff gezogen. Sind unter den gezogenen Kugeln mindestens zwei rote Kugeln, so erhält man 10€ ausgezahlt. Es soll geprüft werden, ob das Spiel fair ist.
A) X sei die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. Stellen sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X auf.
B) Y sei der Gewinn pro Spiel (Auszahlung - Einsatz). Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y auf und berechnen Sie den Erwartungswert von Y.
C) Wie muss der Einsatz verändert werden, damit ein Faires Spiel entsteht?
Bei A) habe ich bereits erhebliche Probleme. Ich weiß, dass ich die Wahrscheinlichkeiten der Möglichkeiten miteinander multiplizieren muss. Das Problem hier ist eher, Das meine Lösungen anders sind als die die ich gefunden habe.
Zum Beispiel:
P(ssr)= 4/10 * 3/9 * 6/8 = 1/10. Im Internet steht allerdings, dass die Lösung 3/10 ist. Hier sind meine restlichen Lösungen:
P(sss) = 4/10 * 3/9* 2/8 = 1/30
P(srr) = 4/10 * 6/8 * 5/8 = 1/6 (im internet steht 1/2)
P(rrr) = 6/10 * 5/9 * 4/8 = 1/6
Bei B) habe ich so gerechnet:
P(mind. 2 rote) = 1/6 * 1/6 = 1/36
P(höchstens 1 rote) = 1/30 * 1/10 = 1/300
E(y) = (-8) * 1/300 + 2 * 1/36 = 13/450
= 0.028889
Und bei C) habe ich nur den Ansatz E(Y) = 0 (Da der Gewinn neutral sein muss um ein faires Spiel zu erlangen)
Kann mir bitte jemand sagen was ich falsch gemacht habe und wie ich korrekt weiter rechne? Dankeschön!
2 Antworten
Zu a) Die Reihenfolge ist unerheblich. Für eine schwarze gibt es drei Möglichkeiten.
Die Summe müsste ja auch 1 sein.
2 rote gibt es dreimal: rrs, rsr, srr. Die Werte müssen addiert werden.
Bei b) habe ich jetzt 1/30 + 3/10 = 1/3 und 1/2 + 1/6 = 2/3 raus. Das habe ich dann in die Formel eingegeben E(y) = -4/3, also -1.33.
Jetzt weiß ich leider nicht wie ich das ganze null setzen kann, sodass ich den Wert für ein faires spiel bekomme (also Aufgabe c)
Also ich habe etwas rum probiert und für den Gewinn in der Formel Variablem eingesetzt, aber ich komme immer auf das Ergebnis 0. 😅
Warum kommt in die Gleichung (10-x) und (-x) wenn ich fragen darf? :) und nochmals vielen Dank!
Auszahlung - (unbekanntem) Einsatz x (bei Gewinn) oder nur Verlust des unbekannten Einsatzes.
Jetzt habe ich es verstanden, Dankeschön für die Hilfe! :)
man kann das so auffassen
Die Hand befindet sich in der Urne
1) schnappt sich 1 Kugel
2) schnappt sich eine 2.te Kugel
3) schnappt sich die 3.te Kugel
Das sind dann 3 Zufallsversuche
s=Schwarz und r=rot
P1(s,s,r)=4/10*3/9*6/8=0,1
P2(s,r,s)=4/10*6/9*3/8=0,1
P3(r,s,s)=6/10*4/9*3/8)=0,1
alle 3 Pfade zusammen
Summenformel P(ges)=P1+P2+P3=3*0,1=0,3
mindestens 2 rote bedeutet:Es können auch 3 rote Kugeln sein
allerdings reichen hier wohl 2 rote Kugeln aus ,um 10 Euro zu gewinnen
P1(r,r,s)=6/10*5/9*4/8=120/720=1/6
P2(r,s,r)=..=1/6
P3(s,r,r)=...=1/6
Gesamt P(ges)=P1+P2+P3=3*1/6=3/6=1/2
nun die Pfade aufzeichnen für die Bedingung 1 rote kugel oder keine rote Kugel
P1(s,s,s)=4/10*3/9*2/8=24/720=1/30
P2(s,s,r)=4/10*3/9*6/8=72/720=1/10
P3(s,r,s)=...=1/10
P4(r,s,s)=...=1/10
Wahrscheinlichkeit ,dass die 10 Euro verloren sind
P(verl)=1/30+3*1/10=1/30+3/10=1/30+9/30=10/30=1/3
Erwartungswert E(X)=-8 Euro*1/3+10*1/2=2,33 Euro durchschnittlicher Gewinn pro Spiel 8 Euro>2,33 Euro also macht man Verlust.
Ohne Gewähr.
Heißt das ich muss quasi P(srr) * P(rsr) * P(rrs) berechnen? Und das selbe mit rot? :)