Darf man in Deutschland einen Affen als Haustier haben?

Theoretisch ja. Praktisch. Schwer umsetzbar.
Je nach Bundesland kann man aber eigentlich alle möglichen Exoten halten, ausgenommen sind diverse heimische Wildtiere, Invasive Arten und eine kleine Auswahl an Exoten die man nicht halten darf.
Natürlich unterliegen diese Tiere entsprechenden Auflagen die man erfüllen muss, darunter ein entsprechendes Gehege das vom Veterinäramt abgenommen werden muss, ein Sachkundenachweis dass das Tier kein Wildfang ist, sondern aus einer Zucht stammt, genug Platz, die medizinische Versorgung muss abgesichert sein, Verpflegung etc. etc. so ein Tier kann man nicht drinnen im Haus halten und bedarf daher ein Innen- und Außengehege, da Affen in Familiengruppen leben, darf man sie auch nicht alleine halten und noch viele andere Dinge.
Bereits der Gehegebau kostet unsummen an Geld und je nach Tier bedarf es sogar bestimmten Ausbildungen die man gemacht haben muss oder bestimmte Kurse.
Aber würde man alle Auflagen erfüllen, alles würde abgesegnet und genehmigt werden (Auch eine Genehmigung der entsprechenden Gemeinde ist notwendig) dürfte man schon.
Aber man sollte nicht. Primaten sind keine domestizierten Tiere, Schimpansen z.B. können echt gefährlich werde, und auch die kleinen Vertreter sind nicht immer gut auf einen zu sprechen.
An Menschen gewohnt sein ist am Ende ein ganz anderes Kaliber als wie unsere heutigen domestizierten Tiere generationen der Anpassung an den Menschen auf dem Buckel zu haben.

Du darfst in Deutschland theoretisch fast jedes Tier als Haustier halten, nur ein paar einzelne Bundesländer verbieten ein paar besonders gefährliche Tierarten in Privathand. Allerdings musst du bei der Beschaffung des Tiers diverse gesetzliche Regelungen einhalten. Und auch für die Haltung gibt es rechtliche Vorgaben, an die du dich halten musst.