Boolesche Algebra mehrfach ausklammern?
Hier wurde einmal x1 und einmal x2 aus den anderen Termen ausgeklammert. Was mich verwundert ist dieses (ich nenne es mal) mehrfach ausklammern.
Hier wird das Distributivgesetzt a * (b + c) gleich zweimal angewendet. einmal
x1 * (x2quer + x2) und auf x2 * (x1quer + x1) .
2 Antworten
Man hätte ja noch ein paar Zwischenschritte zeigen können ;-)
(Für x1quer schreibe ich /x1, das ist vielleicht übersichtlicher.)
(/x1 * x2) + (x1 * /x2) + (x1 * x2)
(/x1 * x2) + (x1 * /x2) + (x1 * x2) + (x1 * x2)
Der doppelte Term (x1 * x2) ändert nichts am Ergebbnis.
umsortieren:
(x1 * /x2) + (x1 * x2) + (/x1 * x2) + (x1 * x2)
(x1 * /x2) + (x1 * x2) + (x2 * /x1) + (x2 * x1)
Aus der ersten beiden Termen x1 und aus den letzten beiden Termen x2 ausklammern:
x1 * (/x2 + x2) + x2 * (/x1 + x1)
x1 + x2
Allgemein gilt a + a = a.
Das ist ja eine ODER-Verknüpfung und keine Addition.
Wenn das erste a wahr ist, dann ist auch das zweite a wahr. Wenn das erste falsch ist, dann auch das zweite. Man kann also einen "Summanden" ohne weiteres doppeln oder einen doppelten weglassen.
Das gilt auch für die UND-Verknüpfung.
Super. Vielen Dank ich habs verstanden. Habe ein Informatik-Studium begonnen. Boolesche Algebra ist für mich Neuland, da ich aus der BWL komme.
Wenn man es rückwärts rechnet komme ich auf den Ursprung. x1*x2 ist zwar doppelt, aber das macht ja nichts bei einer oder-Verknüpfung (+ soll wahrscheinlich oder bedeuten)
x1*(~x2+x2) + x2*(~x1+x1)
= (x1*~x2) + (x1*x2) + (x2*~x1) + (x2*x1)
= (~x1*x2) + (x1*~x2) + (x1*x2)
Also egal wie man die Umformung nennt, sie ist korrekt.
Bei x1*(~x2+x2) + x2*(~x1+x1) = x1 + x2 ist das ARgument, dass die Klammern immer wahr sind.
+ ist Oder * ist UND
Danke für deine Antwort. D.h. wenn die Terme mit Oder-Verknüpft sind und ein Term doppelt vorkommt so kann ich den doppelten weglassen:
= (x1*~x2) + (x1*x2) + (x2*~x1) + (x2*x1)
= (~x1*x2) + (x1*~x2) + (x1*x2)
Oder einen Term doppelt hinhängen:
(/x1 * x2) + (x1 * /x2) + (x1 * x2)
hier hänge ich + (x1 * x2) nochmal an, da x1 und jeweils x2 in den anderen Termen steckt und ich dann die Distributiv-Gesetze anwenden kann. Somit
(/x1 * x2) + (x1 * /x2) + (x1 * x2)+ (x1 * x2)
Ja, wenn A ein logischer Ausdruck ist, der einen Wahrheitswert liefert, dann ist A + A = A
Auch A * A = A
Im Gegensatz zur Rechnung mit Zahlen kann man beliebig oft einen logischen Ausdruck per oder verknüpft duplizieren.
Vielen Dank für deine Antwort. Eine Frage hätte ich dennoch dazu:
"(/x1 * x2) + (x1 * /x2) + (x1 * x2) + (x1 * x2)
Der doppelte Term (x1 * x2) ändert nichts am Ergebnis."
Wie/Woran siehst du, dass wenn du nochmal + (x1 * x2) hinten anhängst, dies nichts am Ergebnis ändert? Wie erkennst du dies?