Wie beweißt man mathematisch, das man existiert?

Sei M die Menge M = {Mann} und F die Menge F = {Frau}. Die Mengen M und F sind begrenzt (z.B. bezüglich IQ) und kompakt (z.B. bezüglich Gewicht). Die Schnittmenge S = M ∩ F ist erfahrungsgemäß die Nullmenge, S = {∅}. Das gilt jedoch nicht für die Vereinigungsmenge V = M ∪ F. Für V gilt: M ∪ F = K = {Kind}. Aus K != {∅} folgt, dass entweder M oder F keine Nullmenge sein kann. Da sich nach neuesten mathematischen Erkenntnissen die Menge M in die Menge F projizieren lässt (und umgekehrt), folgt M != {∅} als auch F != {∅}, und damit die Existenz von M und F.

Mathematisch lässt sich das nicht beweisen. Wem das "Ich denke, also bin ich" nicht reicht, der kann sich mit dem Hammer auf den Daumen hauen. Das ist empirischer Beleg genug.

Die Frage nach dem mathematischen Beweis der eigenen Existenz gehört nicht in den Bereich der Mathematik, sondern der Philosophie, insbesondere der Erkenntnistheorie. Der berühmteste Ansatz stammt von René Descartes mit seinem "Cogito, ergo sum" ("Ich denke, also bin ich"). Dies ist jedoch ein philosophischer, kein mathematischer Beweis.

Die Mathematik befasst sich mit abstrakten Strukturen und logischen Beziehungen, während die Frage der Existenz eher ontologisch und epistemologisch ist. Dennoch kann man versuchen, diese Frage in einem logischen Rahmen zu betrachten, indem man sich auf formale Systeme und axiomatische Methoden stützt.

### Formaler Logikrahmen

Man könnte einen formalen Rahmen verwenden, um das Argument zu strukturieren. Hier ein vereinfachtes Beispiel:

1. **Axiom 1**: Wenn ein System denkt, dann existiert es.

- \( \forall S (T(S) \rightarrow E(S)) \)

- \( S \) ist ein System, \( T(S) \) bedeutet "S denkt", \( E(S) \) bedeutet "S existiert".

2. **Axiom 2**: Ich bin ein System.

- \( S = \text{Ich} \)

3. **Axiom 3**: Ich denke.

- \( T(\text{Ich}) \)

4. **Schlussfolgerung**:

- Aus Axiom 1 und Axiom 3 folgt:

\( T(\text{Ich}) \rightarrow E(\text{Ich}) \)

- Da \( T(\text{Ich}) \) wahr ist, folgt daraus \( E(\text{Ich}) \).

### Erläuterung

- **Axiom 1** ist eine formale Darstellung des cogito-Arguments. Es sagt aus, dass Denken eine notwendige Bedingung für Existenz ist.

- **Axiom 2** stellt sicher, dass der Betrachter als System betrachtet wird.

- **Axiom 3** stellt die Tatsache fest, dass der Betrachter denkt.

In formaler Logik sieht das folgendermaßen aus:

1. \( \forall x (T(x) \rightarrow E(x)) \)

2. \( T(\text{Ich}) \)

3. Daraus folgt: \( E(\text{Ich}) \)

Das bedeutet:

- Für jedes \( x \) gilt: Wenn \( x \) denkt, dann existiert \( x \).

- "Ich denke".

- Also: "Ich existiere".

### Grenzen des Formalismus

Dieses Beispiel zeigt, wie man das philosophische Argument in eine formale Logikstruktur überführen könnte. Allerdings bleibt das Problem, dass die Axiome selbst Annahmen sind, die nicht innerhalb des Systems bewiesen werden können. Sie müssen akzeptiert oder aus anderen Axiomen abgeleitet werden, die wiederum auf philosophischen Annahmen beruhen.

### Fazit

Obwohl man die Frage der eigenen Existenz mit Mitteln der formalen Logik und Mathematik strukturieren kann, bleibt der eigentliche Beweis philosophischer Natur. Die Mathematik kann hier nur als Werkzeug dienen, um die logische Konsistenz der Argumentation zu überprüfen.

Das geht nicht. Um etwas zu beweisen, benötigst du Axiome, auf denen der Beweis aufbaut. Zum Beispiel kannst du nicht beweisen, dass 1 + 1 = 2 ergibt, ohne eine exakte Definition der natürlichen Zahlen zu haben. Dafür verwenden wir die Peano-Axiome. Diese können wir als "wahr" definieren, weil die natürlichen Zahlen nicht physikalisch existieren, sie sind nur ein abstraktes (aber nützliches) Konzept.

Alles, was wir über Physik wissen, basiert jedoch auf Beobachtungen, und ist daher nicht beweisbar. Es gibt keine Axiome des Universums, die per Definition wahr sind – alle unsere Naturgesetze können durch widersprüchliche Beobachtungen widerlegt werden.

Überhaupt nicht.