Kann man im R2 den Flächeninhalt so lösen?

Das ist nicht richtig. Und wo kommen denn die 3 und die 5 her?

Das Kreuzprodukt ist nur im dreidimensionalen Raum definiert. Wenn die z-Komponente der beiden Vektoren 0 ist, dann hat das Kreuzprodukt ausschließlich eine z-Komponente. Man kann sich dann für zwei Vektoren (xa | ya | 0) und (xb | yb | 0) leicht die Formel A = xa * yb - ya * yb herleiten.

Nein, Deine Rechnung ist nicht richtig. Du benennst drei Zahlenbeispiele und das einzige, was Du vorgerechnet hast, ist falsch.

Grundsätzlich gilt: Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt ergibt als Produkt wieder einen neuen Vektor mit der Eigenschaft, dass der Produktvektor auf den anderen beiden Vektoren A und B senkrecht steht. Wenn die beiden Operanden A und B nun aus R2 stammen, dann geht der Produktvektor in die dritte Dimension und ist dann notwendigerweise z-gerichtet. Und die Länge (Betrag) des Produktvektors entspricht immer der Fläche des aufgespannten Parallelogramms. Diese Eigenschaft wird gerne zur Flächenberechnung ausgenutzt.

Man muss es nur richtig machen. Ich verwende dazu gerne die Regel von Sarrus, der das Kreuzprodukt als Determinante einer 3x3 Matrix ausgerechnet. Das Schema erfordert die Notation der drei Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems in der ersten Matrixzeile. Die Zeilen 2 und 3 werden mit den zwei Vektoren besetzt, die multipliziert werden sollen.

Das Bild greift Dein letztes Beispiel auf. Die violette Fläche wird mit dem Vektorprodukt berechnet.

Wenn Du Dir die Mühe machst die vollen und angeschnittenen Kästchen nachzuzählen kommst Du genau auf 7 Flächeneinheiten.

Um im Zusammenhang mit zwei Vektoren von einer Fläche zu sprechen, müsste man wissen, welche Figur die beiden Vektoren aufspannen.

Handelt es sich um ein Dreieck, und beginnen beide Vektoren am selben Ortspunkt, ergibt sich die aufgespannte Fläche aus dem halben Kreuzprodukt der beiden Vektoren.

Im 2D-Fall:

Fläche Dreieck = 1/2 * (1,1) x (2,4) = 1/2 * (1*4 - 1*2) = 1