Hilfe bei schwieriger Matheaufgabe, Erwartungswert Varianz?
Ein Spieler würfelt mit 4 Würfeln. Sein Einsatz beträgt einen Euro. Wirft er keinen Sechser, so verliert er den Einsatz. Wirft er genau einen Sechser, so erhält er 1 Euro. Wirft er genau zwei Sechser, so erhält er 2 Euro. Wirft er drei Sechser, so erhält er 7 Euro. Wirft er vier Sechser, so erhält er 12 Euro.
a) Berechne den Erwartungswert, die Streuung (Standardabweichung), und die Gewinnerwartung des Spiels!
b) Ändere die Auszahlung bei vier Sechsern so ab, dass das Spiel fair ist!
c) Auf welchen Betrag muss der Einsatz geändert werden, damit das Spiel fair ist?
Steh leider komplett auf der Leitung daher wenn es geht bitte mit Rechengang und Lösung für das Verständnis! Vielen Dank!!
2 Antworten
Die Aufgabe ist unklar gestellt: "Wirft er genau einen Sechser, so erhält er 1 Euro. "
Wenn er 1 € Einsatz macht, ist der erst mal weg. Wenn er dann 1 € gewinnt, heißt das
a) 1€ Einsatz weg, 1 € gewonnen, also insgesamt 0 € mehr als zu Anfang ODER
b) 1 € Einsatz weg, 2 € bekommen und somit 1 € mehr als zu Anfang?
Du solltest also hier 2 verschiedene Rechnungen machen, solange das nicht geklärt ist, und den Aufgabensteller auf die Ungenauigkeit hinweisen.
Die Gewinne heißen also entweder -1 | 1|2|7|12 oder -1|0|1|6|11.
Ich hab mal angefangen:
Anzahl Sechser | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
Gewinn | -1 | 1 | 2 | 7 | 12
Wahrsch | .482 | .385 | .116 | .015 | .0008
Sieht nach viel Schreibarbeit aus ...
- Erwartungswert für Anzahl 6er: 2/3
- StdAbw. wurzel(4 * 1/6 * 5/6) = wurzel(5)/3 = 0,745
Gewinnerwartung:
0.482 * -1 + .385 * 1 + .116 * 2 + .015 * 7 + .0008 * 12 = -0,0574
Wenn die Auszahlung 84 statt 12 wäre, betrüge die Gewinnerwartung 0, also fair.
Sorry ich meine : 0.2496 das bekomme ich raus
Oh Mist. Mit der heißen Nadel gestrickt, sorry. Keine Ahnung was ich da gerechnet habe.
Auszahlungserwartung (Wahrscheinlichkeit mal Auszahlung)
0.482 * 0 + 0.385 * 1 + 0.116 * 2 + 0.015 * 7 + 0.0008 * 12 = 0.7316
Gewinnerwartung: 0,7316 - 1 = -0.2684
Änderung bei 4-Sechser so, dass die Auszahlungserwartung 1 ist, dann ist die Gewinnerwartung 0, also fair.
0.385 * 1 + 0.116 * 2 + 0.015 * 7 + 0.0008 * x = 1
x = (1 - 0.385 - 0.116 * 2 - 0.015 * 7)/0.0008 = 347,5
Wäre das der Rechengang für c? 'Wenn die Auszahlung 84 statt 12 wäre, betrüge die Gewinnerwartung 0, also fair.'
Für b) muss man die Auszahlung so bestimmen, dass die Auszahlungserwartung 1 ist:
0.385 * 1 + 0.116 * 2 + 0.015 * 7 + 0.0008 * x = 1
x = (1 - 0.385 - 0.116 * 2 - 0.015 * 7)/0.0008 = 347,5
Für c) musst du den Einsatz so bestimmen, dass er gleich der Auszahlungserwartung ist, also 0,7316 €.
In der Tabelle muss es statt Gewinn Auszahlung heißen und die erste "Auszahlung" ist 0. Die Gewinne wären -1, 0, 1, 6 und 11.
Wie gebe ich das in den Taschenrechner ein also die Gewinnerwartung? Kommt vor den "." eine 0? Falls ja ich bekomme -0.2136 raus :-S