Zur Eingangsfrage: Ja, die Polizei darf das Verwarngeld persönlich abholen. Machen sie nicht in allen Bundesländern, aber in einigen. Manchmal bar, manchmal per Karte. Kommt darauf an, wie fortschrittlich man ist bzw. welche rechtlichen Voraussetzungen gegeben sind.
Der Ablauf bei dir ist schon ein wenig komisch, aber durchaus begründbar. Polizei war zum Unfall gerufen und hat dich festgestellt (waren doch bestimmt im silber-blauen Auto und hatten Uniformen an). Der Schaden am Schild wurde festgestellt und deine Daten wurden aufgenommen. Damit bist du im Ordnungswidrigkeitenverfahren drin. Die 35 Euro ist das reguläre Verwarngeld bei einem Standardunfall. Bezahlst du das nicht, wirds unter Umständen zum Bußgeld und du bezahlst noch einmal 28,50 Euro Verfahrenskosten zusätzlich. Sie könnten das auch mit dem höherwertigen Verstoß der nicht angepassten Geschwindigkeit schulterzuckend an die Bußgeldstelle leiten und dann wird es richtig teuer, um die 100 Euro sind schon drin.
Warum die Polizisten nicht gleich vor Ort das Verwarngeld erhoben haben? Keine Ahnung. Vielleicht hatten sie ihre Verwarngeldblöcke nicht dabei. Bezahlst du die 35 Euro, ist das Verfahren durch und nur noch Versicherungen regulieren.