Es kommt drauf an, ob die Katze als Fundtier oder als verwilderte Katze = Wildtier angesehen wird.
Bei einem Fundtier übernehmen Gemeinde und Kommunen die Kosten, bei einem Wildtier der Finder.
Wie viele Tage muss man eine fremde Katze füttern, bis man rein rechtlich auch für die Tierarztkosten aufkommen muss? Gibt es darüber schon ein Gerichtsurteil?
Frei lebende Katzen sind herrenlos. Sie haben weder einen Besitzer noch einen Eigentümer. Das bloße Füttern frei lebender Katzen begründet für sich allein noch keinen Besitz. Dazu ist es notwendig, dass derjenige, der füttert, die tatsächliche Sachherrschaft über das Tier erlangt.
Das ist bei einem herrenlosen Tier, das weder an Menschen noch an ein Leben in einem Haus oder einem Freigehege gewöhnt ist, schwierig bis unmöglich. Die tatsächliche Erlangung der Sachherrschaft und der Besitzbegründungswille müssen nach außen erkennbar sein. Davon kann man sprechen, wenn die Katzen sich im Garten desjenigen befinden, der die Katzen füttert. Die Katzen müssen auf Rufen der fütternden Person auch immer wieder dorthin zurückkehren und in den Haushalt der fütternden Person integriert werden können.
Dies ist nicht der Fall, wenn jemand nur Katzenfutter auslegt, um frei lebende Katzen zu füttern.
Quelle: https://www.duunddastier.de/ausgabe/recht/
Nachtrag: Hier noch was zu den Kosten:
https://www.deine-tierwelt.de/magazin/verletzte-strassenkatze-gefunden-muss-ich-den-tierarzt-zahlen/