Wieso ist diese Gleichung so abgeleitet?

Also erstmal wird hier überhaupt nicht abgeleitet, sondern Integriert. Das ist tatsächlich so ziemlich das Gegenteil: Statt eine Ableitung bestimmen zu wollen, sucht man eine Stammfunktion. Wenn du diese Stammfunktion dann wiederum ableitest, bekommst du wieder deine ursprüngliche Funktion. Du suchst also eine Funktion F(x), die abgeleitet f(x) ergibt.

Die Schwierigkeit beim Integrieren ist, dass es weniger ein Standardvorgehen gibt als beim Ableiten. Grundsätzlich versucht man meistens, die zu integrierende Funktion zu irgendwas umzuformen, wo man die Stammfunktion bereits kennt. Da kommt auch dein ln(x) her, aber dazu gleich mehr.

Der Charme an deinem konkreten Beispiel ist, dass f(x) die Summe von zwei völlig unabhängigen Funktionen ist. Da du diese ja getrennt voneinander ableiten würdest, kannst du sie auch getrennt voneinander integrieren, also (Integral von 3e^-2x) + (Integral von 1 / 2x).

Bei der Exponentialfunktion ist spannend, wie du diese ableiten würdest. Eine beliebige Exponentialfunktion a*e^(b*x) würdest du ja ableiten zu ab*e^(b*x) (<- Kettenregel). Das „b“ im Exponenten wird sich also niemals ändern. Demnach muss auch in deiner Stammfunktion dein b bereits -2 sein. Du suchst also einn Faktor, der mit e^(-2x) multipliziert abgeleitet die Funktion 3e^(-2x) ergibt. Da du den Faktor beim ableiten mit -2 multiplizierst, kannst du die 3 einfach durch -2 teilen, um die Operation aus dem Ableiten sozusagen rückgängig zu machen. Daher stammt schonmal die -2 unter dem Bruchstrich.

“Einfach die Zahl erhöhen“ darf man übrigens vor allem deswegen nicht, weil es sich nicht um ein Monom, also sowas wie x^3, x^5 etc. handelt. Kompliziertere Funktionen werden auch komplizierter auf- bzw. Abgeleitet.

Um 1/(2x) zu integrieren, ziehst du das erstmal auseinander zu 1/2 * 1/x. Die 1/2 bleiben als Faktor stehen, 1/x wird integriert zu ln(x).

Warum? Weil die Ableitung von ln(x) gerade 1/x ist.

Wie man darauf kommen soll? Leider nur aufgrund von Erfahrung. Diesen Blick für Umformungen (oder „Vereinfachungen“) kann man trainieren und ist der Grund dafür, dass gerade diese ganzen Ableitungs- und Integrationsgeschichten ohne echtes Üben leider nicht möglich sind.

Abschließend vielleicht noch ein Wort zu dem C. Streng genommen suchst du nicht eine Stammfunktion, sondern alle Stammfunktionen. Das C steht für irgendeine beliebige, von x unabhängige Konstante. Das kann jede Beliebige Zahl, jeder Ausdruck, jedes Sonstwas sein, Hauptsache es ist unabhängig von x. Beim Ableiten der Stammfunktion verschwindet das ja dann.

So, ich glaub das war das. Wenn Fragen sind, gerne Fragen.