Wie kann man eine Funktion stetig fortsetzen?

Stetig fortsetzen heißt, den Definitionsbereich einer Funktion so zu erweitern (normalerweise durch "Randpunkte" oder Definitionslücken) und die Funktion dort so zu definieren, dass die entstehende Funktion stetig ist.

Das geht dann so: Nimm an, du hast eine Funktion, die auf ganz R definiert ist, aber nicht an der Stelle 0. Um die stetige Forsetzung auf diese Stelle zu finden, musst du den Grenzwert der Funktion für x-> 0 bilden (von oben und unten!), wenn dieser existiert, ist dass der Wert, mit dem die Funktion auf 0 stetig fortgesetzt werden kann.

Diese stetige Forsetzung auf Definitionslücken ist dann eindeutig. Einige Beispiele:

1) Die durch f: R/{0} -> R, x -> x^2 definierte Funktion lässt sich trivialerweise auf ganz R fortsetzen durch die Definition f(0) = 0.

2) (etwas schwieriger) f: R\{0} -> R, x -> sin(x) / x lässt sich auch stetig auf 0 fortsetzen, durch die Definition f(0) = 1. Das ist ein etwas interessanterer Fall, denn du kannst nicht einfach 0 in die Formel einsetzen. Wie man zeigt, dass sin(x)/x für x-> 0 tatsächlich gegen 1 geht, findest du überall im Internet.

3) Es gibt natürlich auch Funktionen, die sich nicht stetig fortsetzen lassen, z. B. bei Divergenzen (1/x lässt sich nicht auf 0 fortsetzen) oder wenn oberer und unterer Grenzwert verschieden sind (z. B. bei x/|x|).