Wie bilde ich die Funktion 3. und 4. Grades anhand eines Graphen?
Folgende Aufgabe versuche ich zu lösen:
Was ich erkenne ist dass die Graphen bei a) und b) 3. Grades und bei c) und d) 4. Grades sind. Auch weiß ich, wenn die Ganzrationale Funktion gegeben ist, wie ich die Nullstellen, Extrema und den Wendepunkt bestimmen kann. Diese Punkte reichen mir aus, damit ich in etwa den Graphen skizzieren kann. Leider weiß ich nicht wie ich vom Graphen 3. und 4. Grades auf die Funktion komme.
Vielen Dank schon mal im Voraus für deine Hilfe.
2 Antworten
Hallo,
die einfachste Methode ist, dass du die Kenntnis der Nullstellen nutzt.
a) Funktion dritten Grades, wie du richtig erkannt hast.
Nullstelle bei x = -3 und x = 0 , es kommen also in Frage:
f(x) = (x+3)•x² oder g(x) = (x+3)² • x
Die Lösung ist Funktion g, weil bei x = 0 ein Vorzeichenwechsel auftritt, was bei Funktion f nicht der Fall wäre.
b) Funktion 3. Grades, nach gleichem Muster:
f(x) = (x+1)(x-1)(x-2) oder g(x) = -(x+1)(x-1)(x-2)
Die richtige Funktion ist g, weil g(x) > 0 für x < - 1 .
c) Funktion 4. Grades, 2 Nullstellen, Graph ist symmetrisch zur y-Achse =>
f(x) = -(x+1)² • (x-1)²
Das Minuszeichen vor (x+1)² darf nicht fehlen, weil für alle x gilt: f(x) ≤ 0
d) Funktion 4. Grades, 3 Nullstellen, also muss eine Nullstelle doppelt sein.
Weder x=0 noch x=1 kann doppelte Nullstelle sein, weil bei 0 und bei 1 ein Vorzeichenwechsel stattfindet, aber bei x = -1 nicht. =>
f(x) = (x+1)² • x • (x-1)
Gruß
Vielen vielen herzlichen Dank für deinen ausführlichen Lösungsweg! Es hilft mir ernorm!
Eigentlich langes Thema und ich habe schon vergessen wie diese Art der Aufgaben heist. Du stahlst erstmals eine allgemein Gleichung für Grad 3 und 4 auf.
für grad 3 f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d
und für Grad 4 g(x)=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e
Dann liest du dir aus den Grafen die Punkte raus. Bzw Bedingungen. für grad 3 brauchst du 4 und Grad 4 brauchst du 5. Dann hast du 4 bzw 5 Gleichungen. Und so dann mit Gaus verfahren oder Taschenrechner bzw Internet die Unbekannten a,b,c,d,e bestimmen. diese setzt du dann in deine Funktionen an.