Was ist der Grenzwert genau?
Wikipedia und so helfen mir nicht weiter. Ich suche schon so lang nach einer Antwort. Ich verstehe ich, was ein Grenzwert sein soll. In meinem Lehrbuch steht auch nicht, was das ist.
4 Antworten
Hallo!
Bist Du Schüler oder Student? Für den Schüler: Der Grenzwert einer Folge oder Funktion ist die Zahl an die sich die Funktions-/Folgenwerte annäheren, wenn Du das x (oder die Zählvariable) gegen plus oder minus unendlich gehen lässt: Ein Beispiel:
Sie f eine Funktion mit f(x) = e^(-x)
Da e^(-x) dasselbe ist wie 1/e^(x) (Argh, dieser Plattform fehlt ein Formel-Tool) für große x nahe an Null geht ist der Grenzwert: 0.
Das ist genau das, was ich beschrieben habe: Du näherst einen Graphen zunächst an, indem Du die Sekante durch zwei beliebige Graphenpunkte legst und die Steigung dieser Geraden bestimmst. Da schiebst Du die beiden Punkte immer weiter zusammen, bis sie sozusagen unendlich nahe beieinander liegen: So wird aus den Sekanten die Tangente. Und von allen Sekanten-Steigungen ist die Tangenten-Steigung diejenige, die der Ableitung an nähersten kommt, der Grenzwert der Sekantennsteigungen also (dazu muss es in Deinem Buch ein Bild geben!) Schau noch mal bei der Herleitung des Differenzenquotienten und wie daraus der Differenzialquotient wird :-)
Nicht verzweifeln, das ist ein schönes Thema
Die Tangentensteigung ist diejenige, die der Ableitung am nähersten kommt? Wie ich heute herausgefunden habe, ist die Ableitung doch die Steigung der Tangente..
ich versteh den Teil nicht.. aus dem Satz: .... ist ihre Steigung der Grenzwert der zugehäruigen Sekantensteigungen..
Die Tangentensteigung kommt der Ableitung am nähersten, weil sie die Ableitung ist, entschuldige, schlecht formuliert:
Und nochmal zum Grenzwert: Du baust Dir eine beliebige Sekante und bestimmst die Steigung, die schreibst Du Dir auf. Dann schiebst Du die Punkte etwas näher aneinander und bestimmst wieder die Steigung, die schreibst Du Dir auch auf. Und immer so weiter. Dann hast Du eine Folge von Zahlen auf Deinem Zettel, die Sekantensteigungen. Du wirst dabei festellen, dass diese Zahlen sich einer bestimmten annäheren. Bsp.: 2,5...2,75...2,88...2,95...2,97...2,99....2,992....2,995...2,999991 usw... Was vermutest Du als Grenzwert? Richtig, die Steigung der Tangente :-)
ok. Der ausgerechnete Grenzwert ist dann also die Steigung der Tangenten, für die gilt, dass sich x dem x0 also maximal genähert hat, ja? Und wie ich gelesen habe, kann x nie direkt auf x0 liegen, oder hab ich das falsch verstanden?
Und warum liegt x nie auf x0? Weißt du das zufällig?
Wie bestimmst Du die Steigung einer Geraden?
Du suchst Dir zwei Punkte und rechnest für die Steigung m
m= (y2-y1)/(x2-x1)
Du musst also immer zwei Punkte haben. Deshalb kann x0 nie x sein, sonst hättest Du ja nur einen Punkt und daraus kannst Du nicht die Steigung bestimmen.
Ein Grenzwert ist ein bestimmter Wert (also eine bestimmte Zahl), dem sich eine Funktion annähert, ohne ihn jemals zu erreichen.
Der Abstand von der Funktion zu diesem Wert wird praktisch unendlich klein, aber nie komplett Null.
Beispiel: Die funktion:
f(x) = 1/x
Hier ist
f(1) = 1/1 = 1
f(5) = 1/5 = 0.2
f(1000) = 1/1000 = 0.001
...
Die Funktionswerte werden also, wenn x gegen Unendlich geht, immer kleiner, d.h. sie "gehen gegen Null". Trotzdem werden sie nie gleich Null, egal wie groß x ist.
Die Funktion 2+1/x beispielsweise hat nicht den Grenzwert 0, sondern den Grenzwert 2, wenn x gegen Unendlich geht, denn sie nähert sich immer mehr der 2 an.
Man kann den Grenzwert übrigens nicht nur für x gegen Unendlich berechnen, sondern auch für x gegen eine bestimmte Zahl. Zum Beispiel für x gegen Null. Dann ist das der Wert, gegen den f(x) geht, wenn sich x der Null immer mehr annähert. Diesen Grenzwert kann man auch berechnen, wenn die Funktion bei x = 0 gar nicht definiert ist. Wie bei obigen Beispiel. 1/x ist für x = 0 nicht definiert, denn die Division durch 0 ist nicht definiert. Dennoch kann man ihren Grenzwert für x gegen Null berechnen. Dieser ist Unendlich, denn für x gegen Null wird die Funktion immer größer. Sie nähert sich Unendlich an. Geht eine Funktion gegen Unendlich, dann nennt man das einen "uneigentlichen Grenzewert", da es keine genaue Zahl ist, sondern die Funktion einfach immer größer wird. Man sagt auch, sie divergiert (das ist das Gegenteil von konvergieren).
f(1) = 1
f(0.5) = 2
f(0.001) = 1000
...
A. Grenzwerte sind für Schüler die gleichen wie für alle anderen auch. ;)
B. Versuch einer anschaulichen Begrifflichkeit in wenigen Sätzen:
Ein Grenzwert ist eine Zahl, an die sich ein mit unendlich vielen Zahlen beschreibbarer Vorgang annähert.
Es kann ein, dass der Vorgang seinen Grenzwert nie erreicht, aber..
...im Laufe der Annäherungsprozesses unterschreiten fast alle Zahlen des Vorgangs jeden noch so kleinen, aber feststehend gedachten Abstand vom Grenzwert.
Erläuterung: Fast alle Zahlen sind (im mathematischen Sinn) die unendlich vielen außer den ersten drei, den ersten 15 Millionen oder,. wenn der feststehend gedachte Abstand halt entsprechend klein gewählt ist, den erste 100^(100^100) Zahlen des Vorgangs. - Witz an der Geschiche: 100^(100^100) ist zwar "groß", aber endlich und also fast nichts gegenüber der Unendlichkeit fast aller Zahlen.
C. Deine Worte aufgreifend: Der Grenzwert ist schon eine maximale Näherung, denn der Grenzwert (selbst) hat den Abstand Null vom Ziel des Näherungsprozesses. - Das Vorstellungsproblem ist nur, dass der Näherungsprozess sein Ziel nicht erreichen, sondern "nur" jede noch so kleine Abweichung von ihm unterschreiten können muss, so dass die Näherung auch theoretisch nicht mehr besser sein und von ihrem Ziel nicht mehr sinnvoll unterschieden werden kann.
Dies ist der Sinn einer Schreibweise wie
"lim für n -> oo von ... = (Zahl)",
denn in dieser Seltsamkeit steht links ein Prozess, rechts sein (möglicherweise unerreichtes) festes Ziel, und trotzdem eine Gleichheitszeichen dazwischen.
D. Da passt dein Beispiel mit der Tangente sehr gut: Wenn eine Folge von Sekantensteigungen die Tangentensteigung erreichen könnte, wäre der Nenner des (die Steigung beschreibenden) Bruchs Null. So weit kann es nicht kommen und kommt es nie. Aber eben (im strengen Wortsinne) beliebig nahe dran, denn bei einem entsprechenden Näherungsprozess unterschreitet der Betrag des Nenners fast aller Sekantensteigungen (s.o.) jeden beliebig kleinen, aber von Null verschiedenen Wert.
E. @wronlgyNeo: Ich komme ganz gut ohne uneigentliche Grenzwerte zur Beschreibung der monotonen Divergenz aus (und finden den Begriff insbesondere für den Neueinsteiger in das Themengebiet ehrlich gesagt) nicht sonderlich hilfreich.
Entsprechend für die Konvergenz gegen endliche Werte; auch hier können im Übrigen (vermöge der Folgendefinition) immer ins Unendlich fortschreitende Prozesse anschaulich zugrunde gelegt werden.
...obwohl ich an deiner Darstellung nichts formal Falsches finde.
psychironiker
In Mathe ist es der Wert an den sich ein Graph im Unendlichen annähert ihn aber nie berührt.
Wann rechne ich denn den Grenzwert aus? Ist es das Ergebnis von lim x-->xo = f(x)-F(xo)/x-x0 ?? In meinem Buch steht, dass dieses Ergebnis die Steigung von der Tangente an dieser Stelle ist
Ist der Grenzwert also die Steigung der Tangente an dem Berühr-Punkt einer Kurve?
Nein der Grenwert existiert soweit ich weiß nur bei gebrochenrationalen Funtionen(1/x) und tauchen nur im Unendlichen auf. Graphen können sich auch einer Geraden oder einer anderen Funktion annähern wie z.b. x²
Es geht Dir also um Anleitungen? Sag das doch :-)
Die Idee hinter der Ableitung ist, dass Du die Steigung von Geraden am besten bestimmen kannst. Wenn Du aber eine Funktion wie x^2 hast, dann wird es mit der Geraden schwierig... Deshalb suchst Du Dir einfahc zwei Punkte auf dem Graphen und verbindest sie mit einer Geraden... Das nennt man Sekante. Die nähert den Graphen natürlich mehr schlecht als recht an, deshalb musst Du die beiden Punkte so nahe wie möglich an einander legen: Genau das beschreibt der Grenzwert in Deiner Ableitung: Der ein Punkt geht belibeig nahe an den anderen ran, sodass aus der Sekanten (der "Schneidenden") eine Tangente (die "Berührende") wird. was du mit lim (f(x+)-(fx))/h ausrechnest ist die Steigung dieser Tangenten :-) (Der Grenzwert ist also die Steigung, nicht der Punkt). (m = (y2-y1)/(x2-x1) (klingelt da was?)
Bei solchen Fragen solltest Du aber zuerst immer Deine Mitschüler oder Deinen Lehrer fragen!
Viel erfolg noch :-)
Ich bin Schüler. Im Buch steht der Satz, den ich nicht verstehe: Da sich die Tangente t als Grenzgerade von Sekanten ergibt, ist ihre Steigung der Grenzwert der zugehörigen Sekantensteigungen.