Warum ist es hier jeweils doppelt?
Warum ist die Vielfachheit jeweils doppelt? Woran erkennt man das? Ich würde sagen, dass es jeweils einfach ist, weil man es unterteilen kann in x1 = +3 und x2 = -3?
Danke!
3 Antworten
Das obere Polynom lässt sich schreiben als und hat somit eine doppelte Nullstelle 9 (weil die Potenz 2 um die Klammer steht). Du kannst es auch so sehen: In der Mitternachtsformel kommt die Zahl 9 raus, egal ob du das positive oder das negative Vorzeichen wählst, daher muss die Nullstelle doppelt gewertet werden.
Bei der Rücksubstitution pflanzt sich diese Vielfachheit auf +3 und -3 fort, damit das ursprüngliche Polynom vierten Grades auch 4 reelle Nullstellen hat.
Warum kann x1/2 nicht jeweils einfach sein, also zwei einfache Nullstellen? Erkennt man die doppelte Nullstelle an x1/2 und die einfache Nullstelle an x1?
Zuerst werden wir mal mit dieser Aufgabe durchgehen, also Du meinst es, dass man die Nullstellen von :
finden muss. Dabei sollte man f(x) als 0 schreiben und x^2 als t oder z schreiben - hier kannst Du irgendeine Buchstabe schreiben, wenn Du willst. Deshalb heißt es :
Wir stellen dann die Lösung als
vor, was x = 3 und x = -3 ergibt.
In diesem Schritt werden zwei verschiedene Werte gegeben, weil beide davon x^2 = 9 ist. Versuche es mal, (3)^2 und (-3)^2 zu lösen, wobei Du ein Ergebnis von t = 9 bekommst.
Wenn x^2 = z gilt, kannst du in diesem Fall auch zwei Werte für z herausbekommen.
Im Grunde wie bei x. Da hast du ja auch + und - , wenn du die pq-Formel benutzt.
Und wenn du bei dem z wieder die Wurzel ziehst, bringt jedes z immer 2x mit sich. Dann hat man 4 verschiedene Werte für x.
Wenn es nur einen Wert für z gibt, ist der quasi doppelt vergeben...
Ich hoffe, das hilft :)
Im Grunde ja.
Wenn du x^4 hast, kannst du ja maximal 4 Nullstellen haben.
Wenn dein z positiv ist, kannst du eine Wurzel ziehen. Da kommen zwei Werte raus. Also zwei einfache Nullstellen.
Wenn du nur einen Wert für z hast, hast du ja auch maximal zwei verschiedene Werte für x. Die sind dann doppelt.
Und wenn dein z negativ ist, darfst du keine Wurzel ziehen und es gibt weniger Werte für x, die dann aber trotzdem einfache Nullstellen sind.
Aber bei x1/2 = +-3 kommen doch zwei Werte raus. Also zwei einfache Nullstellen? Hä?
Du hast ja nur den Wert 9 für z, richtig?
Also nur einen Wert. Durch das Ziehen der Wurzel für X1,2 hast du zwei Werte für x.
Aber in der Theorie hast du quasi zweimal z= 9... Also auch (theoretisch) zweimal x=3 und x=-3.
Und das sind dann entsprechend doppelte Nullstellen.
Also erkennt man die doppelte Nullstelle an x1/2 und die einfache Nullstelle an x1?