Warum habe ich bei der Betragsfunktion y=|x| eine Knickstelle?

Die Betragsfunktion f(x) = |x| ist folgendermaßen definiert:

Die Ableitung f'(x) ist somit:

Um zu zeigen, dass die Ableitungsfunktion an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar ist, müssen wir mit den Grenzwerten arbeiten. Wäre sie an der Stelle x = 0 differenzierbar, müsste der linksseitige Grenzwert dem rechtsseitigen Grenzwert entsprechen:



Dass das nicht gelten kann, wird klar, wenn Du Dir die Funktionsgraphen von Betragsfunktion (grün) und Ableitung (rot) vor Augen führst:

Dort ist einfach zu erkennen, dass der linksseitige Grenzwert -1 ist, wohingegen der rechtsseitige Grenzwert 1 ergibt. Schlussfolgerung: Die Betragsfunktion ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar - q.e.d.

LG

Schau dir noch mal an, wie ihr die Ableitungen von g(x) = x und h(x) = -x ermittelt habt.

Bei der Betragsfunktion gehst du genauso vor, nur dass du das eine Mal ausschließlich positive, das andere Mal ausschließlich negative Werte betrachtest. Dadurch erhältst du die rechtsseitige bzw. die linksseitige Ableitung.

klar...

1. f(x)=|x|={x<0 --> -x; sonst x}
2. f'(x)={x<0 -> -1; sonst 1} für x<>0
3. von rechts: lim_x->0+ 1 = 1
4. von links: lim_x->0- (-1) = -1
5. fertich!